Khung phân tích gia tăng

Sự cần thiết của phân tích gia tăng

Như đã trình bày ở trên, trong phân tích bài toán biến dạng nhỏ, có thể thực hiện phân tích phần tử hữu hạn bằng cách sử dụng nguyên lý công ảo tương đương với các phương trình cơ sở như phương trình cân bằng rồi rời rạc hóa phương trình đó bằng phần tử hữu hạn. Về cơ bản, nguyên lý công ảo cũng được sử dụng tương tự trong phân tích bài toán biến dạng hữu hạn xử lý biến dạng lớn của kết cấu.

Tuy nhiên, trong bài toán biến dạng hữu hạn, ngay cả khi giả định vật liệu tuyến tính, phương trình nguyên lý công ảo vẫn trở thành phương trình phi tuyến theo chuyển vị. Để giải phương trình phi tuyến, thông thường sử dụng tính toán lặp bằng phương pháp lặp.

Trong quá trình lặp đó, sử dụng phương pháp phân tích gia tăng, trong đó phép tính được thực hiện từng phần đối với một gia số tải nhỏ rồi tích lũy để đạt đến trạng thái biến dạng cuối cùng. Khi giả định bài toán biến dạng nhỏ, cấu hình dùng để định nghĩa biến dạng và ứng suất không được phân biệt đặc biệt giữa trước và sau biến dạng. Nói cách khác, khi giả định biến dạng nhỏ, việc mô tả các phương trình cơ sở trên cấu hình trước hay sau biến dạng đều không gây vấn đề.

Khi thực hiện phân tích gia tăng cho bài toán biến dạng hữu hạn, công thức sẽ khác nhau tùy việc chọn cấu hình ban đầu hay cấu hình tại thời điểm bắt đầu gia số làm cấu hình tham chiếu. Trường hợp trước được gọi là phương pháp total Lagrange, trường hợp sau là phương pháp updated Lagrange. Để biết chi tiết, hãy tham khảo các tài liệu ở cuối chương.

Phương trình xuất phát: nguyên lý công ảo tại thời điểm \(t'\)

Giả sử trạng thái đến thời điểm \(t\) đã biết và trạng thái tại thời điểm \(t' = t + \Delta t\) là chưa biết trong phân tích gia tăng (xem Hình 2.2.1). Phương trình cân bằng, điều kiện biên và nguyên lý công ảo tại thời điểm \(t'\) (biểu diễn trên cấu hình hiện tại, dùng ứng suất Cauchy \(^{t'}\sigma\) và phần tuyến tính của biến dạng Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) được cho như trong Nguyên lý công ảo.

Hình 2.2.1　Khái niệm phân tích gia tăng

Tuy nhiên, vì phương trình xuất phát này được mô tả trên cấu hình (chưa biết) tại thời điểm \(t'\), trong phương pháp giải thực tế cần chọn lại cấu hình ban đầu \(V\) tại thời điểm \(0\) hoặc cấu hình hiện tại \(^{t'} v\) tại thời điểm \(t\) làm cấu hình tham chiếu, viết lại dưới dạng gia tăng rồi mới giải:

• Phương pháp Total Lagrange — Tham chiếu cấu hình ban đầu \(V\). Sử dụng ứng suất PK2 \(\boldsymbol{S}\) và biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
• Phương pháp Updated Lagrange — Tham chiếu cấu hình hiện tại \(^{t}v\) tại thời điểm bắt đầu gia số. Sử dụng ứng suất Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) và phần tuyến tính của biến dạng Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Đối với rời rạc hóa không gian của cả hai phương pháp (ma trận B và vectơ nội lực), xem Rời rạc hóa công ảo nội lực; đối với tuyến tính hóa và cấu thành độ cứng tiếp tuyến, xem Ma trận độ cứng tiếp tuyến.

Mục liên quan

• Nguyên lý công ảo — Phương trình xuất phát chính (dạng yếu trên cấu hình hiện tại và cấu hình ban đầu)
• Rời rạc hóa công ảo nội lực — Ma trận B và vectơ nội lực của TL/UL
• Ma trận độ cứng tiếp tuyến — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) từ tuyến tính hóa
• Phương pháp Newton-Raphson — Thuật toán lặp