Bỏ qua

Xử lý điều kiện biên hình học

Phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) được giải ở mỗi lần lặp của phương pháp Newton-Raphson chưa bao gồm điều kiện biên hình học (ràng buộc chuyển vị). Chương này trình bày cách sửa ma trận độ cứng \(\boldsymbol{K}\) và vectơ phần dư \(\boldsymbol{R}\) đối với các bậc tự do có ràng buộc chuyển vị \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) để chuyển vị sau lặp đạt giá trị ràng buộc. Ràng buộc đa điểm (MPC) và ràng buộc phi tuyến do tiếp xúc được xử lý theo cơ chế khác; xem Ràng buộc đa điểm và Tiếp xúc.

Chính sách giữ bậc tự do bị ràng buộc như biến chưa biết

Chuyển vị tại nút có điều kiện biên hình học không còn là biến chưa biết mà được cố định ở giá trị quy định \(\bar{u}_i\). Có thể coi chúng là hằng số và khử khỏi phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), nhưng FrontISTR vẫn giữ các bậc tự do bị ràng buộc trong cùng vectơ hiệu chỉnh \(d\boldsymbol{u}\) như các bậc tự do khác và thực hiện ràng buộc bằng cách sửa \(\boldsymbol{K}\) và \(\boldsymbol{R}\).

Với cách này, kích thước ma trận hệ số và thứ tự các bậc tự do không thay đổi theo việc có hay không có ràng buộc, nên không cần nén lại các hàng và cột bị trống sau khi khử biến. Vì thao tác nén lại này phức tạp trong triển khai lưu ma trận hệ số ở dạng ma trận thưa, FrontISTR sử dụng phương pháp thứ hai, chỉ cập nhật ma trận hệ số và vế phải để thực hiện ràng buộc.

Giá trị mục tiêu thay thế cho lượng hiệu chỉnh Newton-Raphson

Đối với bậc tự do \(i\) bị ràng buộc chuyển vị, sửa \(\boldsymbol{K}\) và \(\boldsymbol{R}\) sao cho lượng hiệu chỉnh \(du_i\) tìm được trong lặp Newton-Raphson thỏa

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{lần lặp thứ 1}) \\ 0 & (\text{từ lần lặp thứ 2 trở đi}) \end{cases} \]

Nhờ đó, ở lần lặp đầu tiên, gia số chuyển vị đạt giá trị ràng buộc \(\bar{u}_i\); từ lần lặp thứ hai trở đi, lượng hiệu chỉnh bằng \(0\) và giá trị ràng buộc được duy trì.

Quy trình biến đổi ma trận và vectơ phần dư

Mục tiêu thay thế ở phần trước được thực hiện bằng hai phép biến đổi sau trong khi vẫn giữ dạng phương trình tuyến tính \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Đưa hàng \(i\) về dạng đường chéo: thay phần tử đường chéo \(K_{ii}\), là hệ số của \(du_i\), bằng \(1\) và tất cả các hệ số khác \(K_{ij}\ (j \not= i)\) bằng \(0\), đồng thời đặt vế phải \(R_i \to d\bar{u}_i\). Khi đó phương trình ở hàng \(i\) trở thành \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Chuyển hạng tử từ hàng \(j(\not= i)\): đối với hàng \(j(\not= i)\), nếu \(K_{ji} \not= 0\), chuyển hạng tử \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) sang vế phải. Cụ thể, trừ \(K_{ji} d\bar{u}_i\) khỏi vế phải và đặt hệ số \(K_{ji}\) của \(du_i\) bằng \(0\).

Viết theo các thành phần, phương trình trước và sau biến đổi tương ứng như sau.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Ký hiệu ma trận hệ số và vế phải sau biến đổi lần lượt là \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), phương trình tuyến tính cuối cùng cần giải là

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Nếu có nhiều bậc tự do bị ràng buộc, áp dụng tuần tự các phép biến đổi 1 và 2 ở trên cho từng bậc tự do bị ràng buộc \(i\).

Phạm vi xử lý trong triển khai ma trận thưa

Trong triển khai, ma trận hệ số \(\boldsymbol{K}\) được lưu ở dạng ma trận thưa. Vì vậy, thao tác đối với hàng \(j(\not= i)\) trong thủ tục 2 ở phần trước chỉ được thực hiện cho các hàng có phần tử khác không ở cột \(i\), tức là các bậc tự do của những nút được nối với bậc tự do bị ràng buộc \(i\) thông qua phần tử. Với bậc tự do không liên kết, \(K_{ji} = 0\) nên phép chuyển vế không làm thay đổi vế phải. Nhờ giới hạn này, xử lý ràng buộc chỉ cần các thao tác cục bộ so với tổng số nút.

Các mục liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status