Behandlung geometrischer Randbedingungen¶

Das Newton-Raphson-Verfahren löst in jeder Iteration die lineare Gleichung \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\), jedoch sind geometrische Randbedingungen (Verschiebungszwangsbedingungen) in dieser Gleichung noch nicht berücksichtigt. Dieses Kapitel zeigt, wie die Steifigkeitsmatrix \(\boldsymbol{K}\) und der Residualvektor \(\boldsymbol{R}\) für Freiheitsgrade mit vorgegebenen Verschiebungen \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) so modifiziert werden, dass die Verschiebung nach der Iteration den vorgeschriebenen Wert erreicht. Mehrpunkt-Zwangsbedingungen (MPC) und nichtlineare Zwangsbedingungen im Zusammenhang mit Kontakt werden separat behandelt; siehe Mehrpunkt-Zwangsbedingungen und Kontakt.

Vorgehensweise: Verschiebungszwangsbedingungen als Unbekannte beibehalten¶

Die Verschiebung eines Knotens mit geometrischer Randbedingung ist keine unbekannte Variable mehr, sondern auf den vorgeschriebenen Wert \(\bar{u}_i\) festgelegt. Diese Freiheitsgrade könnten als Konstanten behandelt und aus der linearen Gleichung \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) eliminiert werden; FrontISTR erzwingt die Zwangsbedingungen jedoch durch Modifikation von \(\boldsymbol{K}\) und \(\boldsymbol{R}\), während die eingeschränkten Freiheitsgrade genauso wie die übrigen Freiheitsgrade im Korrekturvektor \(d\boldsymbol{u}\) verbleiben.

Bei diesem Ansatz ändern sich die Dimensionen der Koeffizientenmatrix und die Reihenfolge der Freiheitsgrade nicht in Abhängigkeit davon, ob Zwangsbedingungen vorhanden sind. Daher müssen Variablen nicht eliminiert und die dadurch frei werdenden Zeilen und Spalten nicht neu gepackt werden. Da ein solches Umpacken bei einer Implementierung mit Speicherung der Koeffizientenmatrix als dünnbesetzte Matrix aufwendig ist, verwendet FrontISTR den letztgenannten Ansatz, bei dem die Zwangsbedingungen ausschließlich durch Aktualisierung der Koeffizientenmatrix und der rechten Seite durchgesetzt werden.

Zielwert der Newton-Raphson-Korrekturen¶

Für einen verschiebungsgebundenen Freiheitsgrad \(i\) soll die in der Newton-Raphson-Iteration zu bestimmende Korrektur \(du_i\) folgenden Wert annehmen:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. Iteration}) \\ 0 & (\text{2. und folgende Iterationen}) \end{cases} \]

Die Matrizen \(\boldsymbol{K}\) und \(\boldsymbol{R}\) werden so modifiziert, dass diese Vorgabe erfüllt ist. Dadurch erreicht das Verschiebungsinkrement in der ersten Iteration den vorgeschriebenen Wert \(\bar{u}_i\); ab der zweiten Iteration wird die Korrektur zu \(0\), sodass der vorgeschriebene Wert beibehalten wird.

Verfahren zur Modifikation von Matrix und Residualvektor¶

Der im vorigen Abschnitt beschriebene Zielwert wird durch die folgenden zwei Modifikationen erreicht, wobei die Form der linearen Gleichung \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) erhalten bleibt.

Diagonalisierung von Zeile \(i\): Ersetzen Sie den Diagonaleintrag \(K_{ii}\), den Koeffizienten von \(du_i\), durch \(1\), alle übrigen Koeffizienten \(K_{ij}\ (j \not= i)\) durch \(0\) und setzen Sie die rechte Seite auf \(R_i \to d\bar{u}_i\). Die Gleichung in Zeile \(i\) lautet dann \(du_i = d\bar{u}_i\).
Übertragung aus den Zeilen \(j(\not= i)\): Verschieben Sie für jede Zeile \(j(\not= i)\) mit \(K_{ji} \not= 0\) den Term \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) auf die rechte Seite. Das heißt, ziehen Sie \(K_{ji} d\bar{u}_i\) von der rechten Seite ab und setzen Sie den Koeffizienten \(K_{ji}\) von \(du_i\) auf \(0\).

In Komponentendarstellung entsprechen sich die Gleichungen vor und nach der Modifikation wie folgt.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Bezeichnen wir die modifizierte Koeffizientenmatrix und die rechte Seite mit \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), so lautet die schließlich zu lösende lineare Gleichung

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Sind mehrere eingeschränkte Freiheitsgrade vorhanden, werden die Modifikationen 1 und 2 nacheinander auf jeden eingeschränkten Freiheitsgrad \(i\) angewendet.

Verarbeitungsumfang in der Implementierung mit dünnbesetzten Matrizen¶

In der Implementierung wird die Koeffizientenmatrix \(\boldsymbol{K}\) in Form einer dünnbesetzten Matrix gespeichert. Daher wird die Verarbeitung der Zeilen \(j(\not= i)\) in Verfahren 2 des vorigen Abschnitts nur für Zeilen mit von null verschiedenen Einträgen in Spalte \(i\) durchgeführt, also für die Freiheitsgrade von Knoten, die über Elemente mit dem eingeschränkten Freiheitsgrad \(i\) verbunden sind. Für nicht verbundene Freiheitsgrade gilt \(K_{ji} = 0\), sodass die Übertragung des Terms die rechte Seite nicht verändert. Durch diese Einschränkung kann die Behandlung der Zwangsbedingungen mit ausschließlich lokalen Operationen relativ zur Gesamtzahl der Knoten abgeschlossen werden.