Dynamische Analyseverfahren¶

Dieser Abschnitt beschreibt Verfahren zur Analyse dynamischer Probleme unter Anwendung direkter Zeitintegrationsverfahren. Im Folgenden werden die Formulierungen des impliziten und des expliziten Verfahrens dargestellt.

Diskretisierung der Bewegungsgleichung (gemeinsamer Rahmen)¶

TBD (wird in der nächsten Phase ausformuliert).

Implizites Verfahren (Newmark-β-Verfahren)¶

Für dynamische Probleme wurde zur Lösung der im Folgenden gezeigten Bewegungsgleichung ein direktes Zeitintegrationsverfahren angewendet.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Hierbei ist \(M\) die Massenmatrix, \(C\) die Dämpfungsmatrix, \(Q\) der Innere-Kraft-Vektor und \(F\) der äußere Kraftvektor. Die Massenmatrix wird auch in der nichtlinearen Analyse unabhängig von der Verformung als konstant angenommen.

Die Änderungen von Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung innerhalb des Zeitinkrements \(\Delta t\) werden mit dem Newmark-\(\beta\)-Verfahren approximiert, wie in Gleichung \(\eqref{eq:2.5.2}\) und Gleichung \(\eqref{eq:2.5.3}\) dargestellt.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Hierbei sind \(\gamma\) und \(\beta\) die Parameter des Newmark-\(\beta\)-Verfahrens.

Wie bekannt ist, stimmt das Verfahren bei folgenden Werten von \(\gamma\) und \(\beta\) mit dem Verfahren der linearen Beschleunigung bzw. der Trapezregel überein.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\)（Verfahren der linearen Beschleunigung）

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\)（Trapezregel）

Setzt man Gleichung \(\eqref{eq:2.5.2}\) und Gleichung \(\eqref{eq:2.5.3}\) in Gleichung \(\eqref{eq:2.5.1}\) ein, so erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Insbesondere gilt für lineare Probleme, dass \(K_L\) die lineare Steifigkeitsmatrix ist und \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) gilt. Setzt man diese Beziehung in die obige Gleichung ein, so erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

An Stellen, an denen die Beschleunigung als geometrische Randbedingung vorgegeben ist, erhält man die Verschiebung aus Gleichung \(\eqref{eq:2.5.2}\) wie folgt.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Ebenso erhält man an Stellen, an denen die Geschwindigkeit vorgegeben ist, aus Gleichung \(\eqref{eq:2.5.6}\) die folgende Verschiebung.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Hierbei ist \(u_{is}(t+\Delta{t})\) die Knotenverschiebung zum Zeitpunkt \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) die Knotengeschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) die Knotenbeschleunigung zum Zeitpunkt \(t+\Delta{t}\), \(i\) die Nummer des Knotenfreiheitsgrads und \(s\) die Knotennummer. Ferner wurden der Massenterm und der Dämpfungsterm wie folgt behandelt.

Behandlung des Massenterms¶

Die Massenmatrix wird grundsätzlich als konzentrierte Massenmatrix behandelt.

Behandlung des Dämpfungsterms¶

Der Dämpfungsterm wird als Rayleigh-Dämpfung gemäß Gleichung \(\eqref{eq:2.5.8}\) behandelt.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Hierbei sind \(R_m\) und \(R_k\) die Parameter der Rayleigh-Dämpfung.

Die mit der Karte !DYNAMIC angegebenen \(R_m\) und \(R_k\) werden einheitlich auf das gesamte Modell angewendet. Sollen für verschiedene Materialien unterschiedliche \(R_m\) und \(R_k\) verwendet werden, geben Sie die Karte !DAMPING im !MATERIAL-Block des jeweiligen Materials an. Für Elemente, die zu einem Material mit angegebener !DAMPING-Karte gehören, wird aus der Massenmatrix \(M_i\) und der Tangentialsteifigkeitsmatrix \(K_i\) des Elements gemäß \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) die Elementdämpfungsmatrix berechnet und in die globale Dämpfungsmatrix assembliert. Diese Funktion ist nur beim impliziten Verfahren wirksam.

Explizites Verfahren (Zentrale-Differenzen-Verfahren)¶

Das explizite Verfahren beruht auf der im Folgenden gezeigten Bewegungsgleichung zum Zeitpunkt t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Drückt man hierbei die Verschiebungen zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\) und zum Zeitpunkt \(t - \Delta t\) durch eine Taylor-Entwicklung um den Zeitpunkt \(t\) aus und bricht die Entwicklung nach dem Term zweiter Ordnung in \(\Delta t\) ab, so ergibt sich Folgendes.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Aus der Differenz und der Summe von Gleichung \(\eqref{eq:2.5.3}\) und Gleichung \(\eqref{eq:2.5.4}\) erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Setzt man Gleichung \(\eqref{eq:2.5.12}\) und Gleichung \(\eqref{eq:2.5.13}\) in Gleichung \(\eqref{eq:2.5.9}\) ein, so erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Insbesondere gilt für lineare Probleme \(Q(t) = K_L U(t)\), womit die obige Gleichung zu Folgendem wird

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Setzt man hierbei die Massenmatrix \(M\) als konzentrierte Massenmatrix und die Dämpfungsmatrix als proportionale Dämpfungsmatrix \(C = R_m M\) an, so macht Gleichung \(\eqref{eq:2.5.15}\) das Lösen eines Gleichungssystems entbehrlich.

Somit kann \(U(t+\Delta t)\) aus Gleichung \(\eqref{eq:2.5.15}\) durch die folgende Gleichung bestimmt werden.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]