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Numerische Integration

Die in Diskretisierung der inneren virtuellen Arbeit und Äußere virtuelle Arbeit und Assemblierung der globalen Gleichung erhaltenen Element-Innenkraftvektoren \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) und die Elementsteifigkeitsmatrix \(\boldsymbol{K}^e\) liegen als Integrale über das Elementgebiet \(\Omega^e\) bzw. \(\Omega^e_0\) vor. FrontISTR wertet diese numerisch mittels Gauß-Quadratur aus.

Gauß-Quadratur und Variablentransformation

Die Gauß-Quadratur approximiert ein Integral über das Referenzgebiet \(\Xi\) durch eine Linearkombination der Integrandenwerte an den Integrationspunkten \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) und der Gewichte \(w_i\). Bei Anwendung auf das Elementgebiet \(\Omega^e\) erfolgt über die Abbildung \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) eine Variablentransformation, sodass

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

wobei \(n_q\) die Anzahl der Integrationspunkte und \(J_{\xi_i}\) die Determinante der Transformations-Jacobi-Matrix ist. Das Referenzgebiet \(\Xi\) wird für jeden Elementtyp definiert (für einen Hexaeder \([-1,1]^3\); für Dreiecke, Tetraeder und Prismen die entsprechenden Referenzformen), und die Integrationspunkte \(\boldsymbol{\xi}_i\) sowie die Gewichte \(w_i\) sind als numerische Tabellen gegeben. Flächenintegrale werden in gleicher Form behandelt, indem eine Elementfläche von einem zweidimensionalen Referenzgebiet abgebildet wird.

Nachfolgend sind repräsentative Anzahlen von Integrationspunkten aufgeführt, die FrontISTR verwendet (zur Zuordnung zu den Elementtypen siehe Elementnummerierung und Formfunktionsbibliothek).

Elementtyp Quadraturregel Anzahl der Integrationspunkte
4-Knoten-Tetraeder (tet4n) 1-Punkt-Regel 1
10-Knoten-Tetraeder (tet10n) 4-Punkt-Regel 4
6-Knoten-Dreiecksprisma (prism6n) 2-Punkt-Regel 2
15-Knoten-Dreiecksprisma (prism15n) 9-Punkt-Regel 9
8-Knoten-Hexaeder (hex8n) 2×2×2 Gauß-Legendre 8
20-Knoten-Hexaeder (hex20n) 3×3×3 Gauß-Legendre 27
4-Knoten-Viereck (quad4n) 2×2 Gauß-Legendre 4
8-Knoten-Viereck (quad8n) 3×3 Gauß-Legendre 9
3-Knoten-Dreieck (tri3n) 1-Punkt-Regel 1
6-Knoten-Dreieck (tri6n) 3-Punkt-Regel 3

Für Hexaeder-, Vierecks- und Linienelemente werden Tensorprodukte der Gauß-Legendre-Regel in jeder Koordinatenrichtung verwendet. Dreiecke, Tetraeder und Dreiecksprismen verwenden spezielle, an Simplex-Geometrien angepasste Regeln (Punktanordnungen, die Polynome über dem Dreieck selbst exakt integrieren).

Anwendung auf die Elementintegration

Bei der Elementintegration werden die natürlichen Koordinaten \(\boldsymbol{r}\) als Koordinaten des Referenzgebiets verwendet (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), und die Abbildung auf physikalische Koordinaten erfolgt durch Interpolation der Knotenkoordinaten mit den Formfunktionen. Je nach Wahl der Referenzkonfiguration (Rahmen der inkrementellen Analyse) werden die folgenden Formulierungen verwendet.

Total-Lagrange-Methode (Integration über die Referenzkonfiguration \(\Omega^e_0\)): Abbildung und Jacobi-Determinante lauten

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

und Element-Innenkraft sowie Steifigkeitsmatrix werden approximiert durch

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Alle Größen \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) werden am Integrationspunkt \(\boldsymbol{r}_i\) ausgewertet.

Updated-Lagrange-Methode (Integration über die aktuelle Konfiguration \(\Omega^e\)): Abbildung und Jacobi-Determinante lauten

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

und

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

werden als Approximationen verwendet.

Der einzige Unterschied zwischen den beiden Formulierungen besteht darin, ob der Abbildung die Knotenkoordinaten \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) oder \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) zugeführt werden; Integrationspunkte, Gewichte und die Struktur der Integrationspunktschleife sind identisch.

Vollintegration und reduzierte Integration

Eine Integration mit genügend Integrationspunkten, um den Polynomgrad des Integranden exakt zu integrieren, wird als Vollintegration bezeichnet; eine Integration mit einer um eine Stufe geringeren Anzahl von Integrationspunkten heißt reduzierte Integration. Reduzierte Integration wird zur Verringerung von Scher- und Volumen-Locking eingesetzt, erfordert jedoch eine Behandlung unerwünschter Verformungsmoden wie Hourglass-Moden. Die Anzahl der Integrationspunkte für die einzelnen Elementtypen sowie die Wahl zwischen Voll- und reduzierter Integration werden in Elementnummerierung und Formfunktionsbibliothek und den folgenden Abschnitten sowie in Fortgeschrittene Elementformulierungen behandelt.

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