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Intégration numérique

Les vecteurs de forces internes élémentaires \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) et la matrice de rigidité élémentaire \(\boldsymbol{K}^e\) obtenus dans Discrétisation du travail virtuel des forces internes et Travail virtuel des forces externes et assemblage de l’équation globale prennent la forme d’intégrales sur le domaine élémentaire \(\Omega^e\) ou \(\Omega^e_0\). FrontISTR les évalue numériquement au moyen de la quadrature de Gauss.

Quadrature de Gauss et changement de variables

La quadrature de Gauss approxime une intégrale sur le domaine de référence \(\Xi\) par une combinaison linéaire des valeurs de l’intégrande aux points d’intégration \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) et des poids \(w_i\). Son application au domaine élémentaire \(\Omega^e\) implique un changement de variables au moyen de l’application \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), ce qui donne

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

où \(n_q\) est le nombre de points d’intégration et \(J_{\xi_i}\) le déterminant du jacobien de transformation. Le domaine de référence \(\Xi\) est défini pour chaque type d’élément (pour un hexaèdre, \([-1,1]^3\) ; pour les triangles, tétraèdres et prismes triangulaires, les formes de référence correspondantes), et les points d’intégration \(\boldsymbol{\xi}_i\) ainsi que les poids \(w_i\) sont fournis sous forme de tables numériques. Les intégrales de surface sont traitées de la même manière en appliquant une face d’élément depuis un domaine de référence bidimensionnel.

Les nombres représentatifs de points d’intégration utilisés par FrontISTR sont indiqués ci-dessous (pour la correspondance avec les types d’éléments, voir Système de numérotation des éléments et bibliothèque de fonctions de forme).

Type d’élément Formule de quadrature Nombre de points d’intégration
Tétraèdre à 4 nœuds (tet4n) Formule à 1 point 1
Tétraèdre à 10 nœuds (tet10n) Formule à 4 points 4
Prisme triangulaire à 6 nœuds (prism6n) Formule à 2 points 2
Prisme triangulaire à 15 nœuds (prism15n) Formule à 9 points 9
Hexaèdre à 8 nœuds (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Hexaèdre à 20 nœuds (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Quadrilatère à 4 nœuds (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Quadrilatère à 8 nœuds (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Triangle à 3 nœuds (tri3n) Formule à 1 point 1
Triangle à 6 nœuds (tri6n) Formule à 3 points 3

Pour les éléments hexaédriques, quadrilatéraux et linéiques, on utilise des produits tensoriels de la formule de Gauss-Legendre dans chaque direction de coordonnées. Les triangles, tétraèdres et prismes triangulaires utilisent des formules dédiées adaptées aux géométries de type simplexe (dispositions de points intégrant exactement les polynômes sur le triangle lui-même).

Application à l’intégration élémentaire

Dans l’intégration élémentaire, les coordonnées naturelles \(\boldsymbol{r}\) sont utilisées comme coordonnées du domaine de référence (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), et l’application vers les coordonnées physiques est donnée par interpolation des coordonnées nodales au moyen des fonctions de forme. Selon le choix de la configuration de référence (Cadre de l’analyse incrémentale), on utilise les formulations suivantes.

Méthode lagrangienne totale (intégration sur la configuration de référence \(\Omega^e_0\)) : l’application et le jacobien sont

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

et la force interne élémentaire ainsi que la matrice de rigidité sont approximées par

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Tous les termes \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) sont évalués au point d’intégration \(\boldsymbol{r}_i\).

Méthode lagrangienne actualisée (intégration sur la configuration actuelle \(\Omega^e\)) : l’application et le jacobien sont

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

et

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

sont utilisés comme approximations.

La seule différence entre les deux formulations réside dans le fait que les coordonnées nodales fournies à l’application sont \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ou \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) ; les points d’intégration, les poids et la structure de la boucle sur les points d’intégration sont communs.

Intégration complète et intégration réduite

Une intégration utilisant un nombre de points suffisant pour intégrer exactement le degré polynomial de l’intégrande est appelée intégration complète, tandis qu’une intégration utilisant un niveau de points d’intégration en moins est appelée intégration réduite. L’intégration réduite est utilisée pour atténuer le verrouillage de cisaillement et le verrouillage volumique, mais elle nécessite un traitement des modes de déformation parasites tels que les modes en sablier. Le nombre de points d’intégration pour chaque type d’élément et le choix entre intégration complète et réduite sont traités dans Système de numérotation des éléments et bibliothèque de fonctions de forme et les sections suivantes, ainsi que dans Formulations avancées des éléments.

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