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Analyse transitoire de conduction thermique

Cette section présente la discrétisation temporelle et la méthode de résolution itérative de l'analyse de conduction thermique des solides par la méthode des éléments finis (FEM). Pour les équations gouvernantes et les conditions aux limites du milieu continu, consultez Équation de conduction thermique.

Équation discrétisée (point de départ)

La discrétisation de l'équation de conduction thermique (équation de conduction thermique (gov_he_main)) par la méthode de Galerkin donne

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

où

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Ici, \(K\), \(M\), \(F\) et \(N\) sont respectivement la matrice de conduction thermique (incluant les contributions des conditions aux limites convectives et radiatives), la matrice de masse, le vecteur de charge thermique et la matrice des fonctions de forme. Les définitions des symboles de propriétés de matériau (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), etc.) suivent Équation de conduction thermique.

Discrétisation temporelle et résolution itérative

L'équation \(\eqref{eq:2.4.8}\) est une équation transitoire non linéaire. En utilisant la méthode d'Euler implicite pour la discrétisation temporelle, lorsque la température au temps \(t=t_0\) est connue, la température au temps \(t=t_0+\Delta t\) est calculée à l'aide de l'équation suivante.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Considérons l'amélioration du vecteur de température \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), qui satisfait approximativement l'équation \(\eqref{eq:2.4.13}\), afin d'obtenir la solution plus précise \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Pour cela, exprimons d'abord le vecteur de température comme suit.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Le produit de la matrice de conduction thermique et du vecteur de température, la matrice de masse et les termes associés sont approximés comme suit.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

En substituant les équations \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) et \(\eqref{eq:2.4.16}\) dans l'équation \(\eqref{eq:2.4.13}\), puis en négligeant les termes du second ordre et d'ordre supérieur, on obtient l'équation suivante.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

La matrice des coefficients du membre de gauche est ensuite approximée au moyen de l'équation suivante.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Ici, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) est la matrice de raideur tangente.

Finalement, la température au temps \(t=t_0+\Delta t\) peut être calculée en effectuant des calculs itératifs à l'aide de l'équation suivante.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

En particulier, pour l'analyse stationnaire, les calculs itératifs sont effectués à l'aide de l'équation suivante.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Dans l'analyse transitoire, comme une méthode implicite est utilisée pour la discrétisation temporelle, le choix de l'incrément de temps \(\Delta t\) n'est généralement soumis à aucune restriction sur sa grandeur. Toutefois, si l'incrément de temps \(\Delta t\) est trop grand, le nombre d'itérations nécessaires à la convergence augmente. En général, un incrément de temps \(\Delta t\) excessivement grand augmente le nombre d'itérations. Dans l'implémentation, le contrôle automatique des incréments surveille la grandeur du vecteur résiduel, réduit \(\Delta t\) lorsque la convergence est lente et augmente \(\Delta t\) lorsque le nombre d'itérations est faible (→ voir Contrôle des pas pour plus de détails).

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