يعرض هذا القسم التقطيع الزمني وطريقة الحل التكرارية لتحليل التوصيل الحراري في الأجسام الصلبة باستخدام طريقة العناصر المحدودة (Finite Element Method). وللمعادلات الحاكمة والشروط الحدّية في الوسط المتصل، انظر معادلة التوصيل الحراري.
\[\begin{equation}
K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F
\label{eq:2.4.8}
\end{equation}\]
حيث
\[\begin{equation}
K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x}
+ k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y}
+ k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV
+ \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds
\label{eq:2.4.9}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M = \int \rho c N^T N dV
\label{eq:2.4.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS
+ \int{hc} T c N^T dS
+ \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS
\label{eq:2.4.11}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
N = (N^1, N^2, \ldots, Ni)
\label{eq:2.4.12}
\end{equation}\]
هنا تمثل \(K\) و\(M\) و\(F\) و\(N\)، على الترتيب، مصفوفة التوصيل الحراري (بما في ذلك مساهمات الحمل والإشعاع على الحدود)، ومصفوفة الكتلة، ومتجه الحمل الحراري، ومصفوفة دوال الشكل. وتتبع تعريفات رموز خواص المادة (مثل \(\rho\)، و\(c\)، و\(k_x, k_y, k_z\)، و\(Q\)، و\(hc\)، و\(hr\)) ما هو معرَّف في معادلة التوصيل الحراري.
المعادلة \(\eqref{eq:2.4.8}\) معادلة غير خطية وغير مستقرة زمنيًا.
نقوم الآن بالتقطيع بالنسبة إلى الزمن بطريقة Euler الخلفية، وعندما تكون درجة الحرارة عند الزمن \(t=t_0\) معلومة نحسب درجة الحرارة عند الزمن \(t=t_0+\Delta t\) باستخدام المعادلة التالية.
نعتبر تحسين متجه درجة الحرارة \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) الذي يحقق تقريبًا المعادلة \(\eqref{eq:2.4.13}\)
للحصول على الحل الأدق \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
ولهذا الغرض، نعبّر أولًا عن متجه درجة الحرارة كما يلي.
بتعويض المعادلات \(\eqref{eq:2.4.14}\) و\(\eqref{eq:2.4.15}\) و\(\eqref{eq:2.4.16}\) في المعادلة \(\eqref{eq:2.4.13}\)، وإهمال الحدود من الرتبة الثانية فما فوق، نحصل على المعادلة التالية.
في التحليل غير المستقر، لأن طريقة ضمنية تُستخدم في التقطيع الزمني، فإن اختيار التزايد الزمني \(\Delta t\) لا يخضع عمومًا لقيد على مقداره. ومع ذلك، إذا كان التزايد الزمني \(\Delta t\) كبيرًا جدًا، يزداد عدد التكرارات اللازمة للتقارب.
بوجه عام، يؤدي التزايد الزمني \(\Delta t\) الكبير جدًا إلى زيادة عدد التكرارات. وفي التنفيذ تُراقب قيمة متجه المتبقي، ويُستخدم تحكم تلقائي في التزايد يخفض \(\Delta t\) عندما يكون التقارب بطيئًا ويزيد \(\Delta t\) عندما يكون عدد التكرارات قليلًا (→ للتفاصيل، انظر التحكم في الخطوة).