التحقق باستخدام نموذج بسيط الشكل

التحليل الساكن المرن

يستخدم هذا التحقق عارضة كابولية مقسمة إلى شبكة كما هو موضح في الشكل 9.1.1. أُجريت التحليلات لسبع حالات، من exA إلى exG، مع تغيير شروط التحميل كما هو موضح في الشكل 9.1.2. الحالة exG لها شروط التحميل نفسها للحالة exA، لكنها تستخدم محلّلًا مباشرًا.

تظهر نتائج التحقق لكل حالة في الجداول 9.1.1 إلى 9.1.7.

الشكل 9.1.1 مثال لتقسيم شبكة العارضة الكابولية (عناصر سداسية الوجوه)

	(a) exA,G: حمل مركز
	(b) exD: الجاذبية
	(c) exB: حمل موزع سطحي
	(d) exE: قوة طرد مركزي
	(e) exC: حمل حجمي
	(f) exF: حمل حراري

البند	القيمة
معامل Young	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
الطول	\(L = 10.0\ mm\)
نسبة Poisson	\(\nu = 0.3\)
مساحة المقطع	\(A = 1.0\ mm^2\)
كثافة الكتلة	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
عزم المساحة الثاني	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
تسارع الجاذبية	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
معامل التمدد الحراري الخطي	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

الجدول 9.1.2 شروط التحقق لنموذج العارضة الكابولية

الجدول 9.1.1 exA: نتائج التحقق لمسألة الحمل المركز

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: \(\delta_{max}= -1.000\)		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99عقدة
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525عقدة
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99عقدة
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381عقدة
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99عقدة
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220عقدة
A731	40	-	-	-0.991	33عقدة / طريقة مباشرة
A741	20	-	-	-0.996	33عقدة / طريقة مباشرة

الجدول 9.1.2 exB: نتائج التحقق لمسألة الحمل الموزع سطحيًا

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: \(\delta_{max}= -3.750\)		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99عقدة
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525عقدة
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99عقدة
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381عقدة
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99عقدة
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220عقدة
B731	40	-	-	-3.722	33عقدة / طريقة مباشرة
B741	20	-	-	-3.743	33عقدة / طريقة مباشرة

الجدول 9.1.3 exC: نتائج التحقق لمسألة الحمل الحجمي

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99عقدة
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525عقدة
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99عقدة
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381عقدة
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99عقدة
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220عقدة
C731	40	-	-	-2.922e-5	33عقدة / طريقة مباشرة
C741	20	-	-	-2.938e-5	33عقدة / طريقة مباشرة

الجدول 9.1.4 exD: نتائج التحقق لمسألة الجاذبية

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99عقدة
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525عقدة
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99عقدة
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381عقدة
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99عقدة
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220عقدة
D731	40	-	-	-2.922e-5	33عقدة / طريقة مباشرة
D741	20	-	-	-2.938e-5	33عقدة / طريقة مباشرة

الجدول 9.1.5 exE: نتائج التحقق لمسألة قوة الطرد المركزي

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99عقدة
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525عقدة
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99عقدة
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381عقدة
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99عقدة
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220عقدة
E731	40	-	-	2.619e-3	33عقدة / طريقة مباشرة
E741	20	-	-	2.622e-3	33عقدة / طريقة مباشرة

الجدول 9.1.6 exF: نتائج التحقق لمسألة حمل الإجهاد الحراري

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99عقدة
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525عقدة
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99عقدة
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381عقدة
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99عقدة
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220عقدة

الجدول 9.1.7 exG: نتائج التحقق للطريقة المباشرة (مسألة الحمل المركز)

اسم الحالة	عدد العناصر		القيمة المتوقعة: δmax= -1.000		ملاحظات
		NASTRAN	برنامج تجاري	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99عقدة
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525عقدة
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99عقدة
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381عقدة
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99عقدة
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220عقدة
G731	40	-	-	-0.991	33عقدة / طريقة مباشرة
G741	20	-	-	-0.996	33عقدة / طريقة مباشرة

التحليل الساكن غير الخطي

(2-1) exnl1: التحليل غير الخطي هندسيًا

نموذج التحقق للحالة exI مطابق لنماذج الحالات exA إلى exG. يوضح الشكل 9.1.3 مخططًا تخطيطيًا لنموذج التحقق. يُجرى تحليل غير خطي هندسيًا على هذا النموذج. تظهر نتائج التحقق في الجدول 9.1.8.

يستخدم الحساب غير الخطي 10 خطوات تحميل بزيادة حمل مقدارها 0.1P حتى الحمل النهائي 1.0P.

الشكل 9.1.3 نموذج التحقق

الجدول 9.1.8 exI: نتائج التحقق (تاريخ الانحراف الأقصى)

اسم الحالة	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	الحل الخطي
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: تحليل تشوه اللدونة المرنة

تعتمد مسألة التحقق هذه على National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 from NAFEMS، ويُجرى تحليل تشوه لللدونة المرنة يتضمن اللاخطية الهندسية وقوانين تصلد متعددة. يوضح الشكل 9.1.4 نموذج التحليل.

الشكل 9.1.4 نموذج تحليل تشوه اللدونة المرنة

(1) شروط التحقق

البند	القيمة
المادة	مادة لدنة مرنة من نوع Mises
معامل Young	\(E = 250 GPa\)
نسبة Poisson	\(\nu=0.25\)
إجهاد الخضوع الابتدائي	\(5 MPa\)
انفعال الخضوع الابتدائي	\(0.25\times10^{-4}\)
معامل التصلد المتساوي الخواص	\(H_i = 0\) أو \(62.5 GPa\)

(2) الشروط الحدّية

البند	الشرط الحدّي	القيمة
الخطوة 1	إزاحة مفروضة عند العقدتين 2 و3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
الخطوة 2	إزاحة مفروضة عند العقدتين 2 و3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
الخطوة 3	إزاحة مفروضة عند العقدتين 3 و4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
الخطوة 4	إزاحة مفروضة عند العقدتين 3 و4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
الخطوة 5	إزاحة مفروضة عند العقدتين 2 و3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
الخطوة 6	إزاحة مفروضة عند العقدتين 2 و3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
الخطوة 7	إزاحة مفروضة عند العقدتين 3 و4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
الخطوة 8	إزاحة مفروضة عند العقدتين 3 و4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

جميع العقد غير المذكورة هنا مقيدة بالكامل. الحل النظري لهذه المسألة كما يلي.

الانفعال (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	الإجهاد المكافئ (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

وبالمقارنة، تكون نتائج الحساب كما يلي.

الانفعال (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	الإجهاد المكافئ (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

تحليل التلامس (1)

تعتمد مسألة التحقق هذه على مسألة اختبار رقعة التلامس CGS-4 من National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.)، وتختبر وظيفة التلامس ذي الانزلاق المحدود مع الاحتكاك. يوضح الشكل 9.1.5 نموذج التحليل.

الشكل 9.1.5 نموذج تحليل التلامس

شرط الاتزان لهذه المسألة كما يلي.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

في مرحلة الاحتكاك الالتصاقي، تكون قوة الاحتكاك [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] وفي مرحلة الاحتكاك الانزلاقي تكون [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] كما هو موضح.

تكون مقارنة نتائج الحساب مع الحل التحليلي كما يلي.

\(\mu\)	الحل التحليلي لـ \(F/G\)	نتيجة حساب \(F/G\)
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

تحليل التلامس (2): مسألة تلامس Hertz

يحلل هذا التحقق مسألة تلامس Hertz بين أسطوانة لا نهائية الطول ومستوى لانهائي. نصف قطر الأسطوانة هو R=8mm، ومعامل Young E ونسبة Poisson µ للجسم القابل للتشوه هما 1100Mpa و0.0 على التوالي. يُفترض أيضًا أن مساحة التلامس صغيرة بما يكفي مقارنة بنصف قطر الأسطوانة، ومع مراعاة تناظر المسألة يُجرى التحليل باستخدام نموذج ربع أسطوانة.

الشكل 9.1.6 نموذج تحليل مسألة تلامس Hertz

(1) نتائج التحقق لنصف قطر التلامس

الصيغة النظرية لحساب نصف قطر التلامس كما يلي:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

حيث [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] كما هو موضح. في شروط هذا الحساب، عندما يكون الضغط \(F=100\)، يكون نصف قطر التلامس \(a=1.36\).

يوضح الشكل 9.1.7 القوى العقدية المكافئة عند نقاط التلامس. ويُحصل على نصف قطر التلامس باستقراء توزيع القوى العقدية.

الشكل 9.1.7 توزيع القوى العقدية المكافئة عند نقاط التلامس

(2) نتائج التحقق للإجهاد القصي الأقصى

في الحل النظري، عند موضع التلامس [ z = 0.78a ] يكون الإجهاد القصي الأقصى [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] كما هو موضح. تحت شروط الحساب الحالية، [ \tau_{\max} = 14.2 ] كما يلي. وبالمقارنة، يعطي الحساب [ \tau_{\max} = 15.6 ] وهي نتيجة الحساب.

الشكل 9.1.8 توزيع إجهاد القص (القيمة القصوى=15.6)

(3) التحليل النمطي

نماذج التحقق للحالتين exJ وexK مطابقة لنماذج الحالات exA إلى exG. يوضح الشكل 9.1.9 مخططًا تخطيطيًا لنموذج التحقق. يُجرى تحليل نمطي على هذا النموذج. تُحسب القيم الذاتية من الأولى إلى الثالثة. تستخدم الحالة exJ محلّلًا تكراريًا، بينما تستخدم الحالة exK محلّلًا مباشرًا. تظهر نتائج التحقق في الجداول 9.1.9 إلى 9.1.12.

الشكل 9.1.9 نموذج التحقق

تُحسب الترددات الطبيعية للعارضة الكابولية من المعادلات التالية.

النمط الأول [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] النمط الثاني [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] النمط الثالث [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

قيم خصائص نموذج التحقق هي

البند	القيمة
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

وعليه، تكون القيم الذاتية حتى النمط الثالث كما يلي.

رقم النمط	القيمة
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

الجدول 9.1.9 exJ: نتائج التحقق بالطريقة التكرارية (القيمة الذاتية الأولى)

اسم الحالة	عدد العناصر	القيمة المتوقعة: n1=3.609e3		ملاحظات
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J232	40	3.596e3	3.593e3	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J241	20	3.586e3	4.245e3	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J242	20	3.590e3	3.587e3	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J341	240	5.442e3	5.429e3	99عقدة
J342	240	3.621e3	3.595e3	525عقدة
J351	80	3.695e3	4.298e3	99عقدة
J352	80	3.610e3	3.609e3	381عقدة
J361	40	3.679e3	3.619e3	99عقدة
J362	40	3.611e3	3.606e3	220عقدة

الجدول 9.1.10 exJ: نتائج التحقق بالطريقة التكرارية (القيمة الذاتية الثانية)

اسم الحالة	عدد العناصر	القيمة المتوقعة: n2=2.262e4		ملاحظات
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J232	40	2.163e4	2.156e4	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J241	20	2.149e4	2.516e4	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J242	20	2.149e4	2.143e4	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J341	240	3.145e4	3.138e4	99عقدة
J342	240	2.171e4	2.155e4	525عقدة
J351	80	2.208e4	2.546e4	99عقدة
J352	80	2.156e4	2.149e4	381عقدة
J361	40	2.202e4	2.168e4	99عقدة
J362	40	2.154e4	2.144e4	220عقدة

ملاحظة: في النماذج ثلاثية الأبعاد تكون القيمتان الأولى والثانية جذرين متساويين. لذلك تمثل القيمة الثانية في الجدول قيمة الحساب الثالثة.

الجدول 9.1.11 exK: نتائج التحقق بالطريقة المباشرة (القيمة الذاتية الأولى)

اسم الحالة	عدد العناصر	القيمة المتوقعة: n1=3.609e3		ملاحظات
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J232	40	3.596e3	3.593e3	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J241	20	3.586e3	4.245e3	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J242	20	3.590e3	3.587e3	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J341	240	5.442e3	5.429e3	99عقدة
J342	240	3.621e3	3.595e3	525عقدة
J351	80	3.695e3	4.298e3	99عقدة
J352	80	3.610e3	3.609e3	381عقدة
J361	40	3.679e3	3.619e3	99عقدة
J362	40	3.611e3	3.606e3	220عقدة
J731	40	-	3.606e3	220عقدة
J741	20	-	3.594e3	220عقدة

الجدول 9.1.12 exK: نتائج التحقق بالطريقة المباشرة (القيمة الذاتية الثانية)

اسم الحالة	عدد العناصر	القيمة المتوقعة: n2=2.262e4		ملاحظات
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J232	40	2.163e4	2.156e4	105عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J241	20	2.149e4	2.516e4	33عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J242	20	2.149e4	2.143e4	85عقدة / مسألة إجهاد مستوٍ
J341	240	3.145e4	3.138e4	99عقدة
J342	240	2.171e4	2.155e4	525عقدة
J351	80	2.208e4	2.546e4	99عقدة
J352	80	2.156e4	2.149e4	381عقدة
J361	40	2.202e4	2.168e4	99عقدة
J362	40	2.154e4	2.144e4	220عقدة
J731	40	-	2.156e4	220عقدة
J741	20	-	2.153e4	220عقدة

ملاحظة: في النماذج ثلاثية الأبعاد تكون القيمتان الأولى والثانية جذرين متساويين. لذلك تمثل القيمة الثانية في الجدول قيمة الحساب الثالثة.

(4) تحليل التوصيل الحراري

تظهر الشروط المشتركة لتحليلات التوصيل الحراري المستقر في الشكل 9.1.10. تظهر الشروط الفردية لحالات التحقق exM إلى exT في الشكل 9.1.11. يُستخدم تقسيم شبكة مكافئ لذلك المستخدم في exA.

تظهر في الجداول 9.1.13 إلى 9.1.20 نتائج التحقق لكل حالة على هيئة جداول توزيع درجة الحرارة.

المسافة بين A وB	\(L = 10.0m\)
مساحة المقطع	\(A = 1.0 mm^2\)

اعتماد الموصلية الحرارية على درجة الحرارة

الموصلية الحرارية \(\lambda(W/mK)\)	درجة الحرارة \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

الشكل 9.1.10 شروط التحقق لتحليل التوصيل الحراري المستقر

exM: مادة خطية
exN: مسألة درجة حرارة محددة
exO: مسألة تدفق حراري مركز
exP: مسألة تدفق حراري موزع
exQ: مسألة انتقال حراري بالحمل
exR: مسألة انتقال حراري بالإشعاع
exS: مسألة توليد حراري حجمي
exT: مسألة فجوة داخلية

الشكل 9.1.11 شروط التحليل لكل حالة تحقق

الجدول 9.1.13 exM: نتائج التحقق للحساب المستقر باستخدام مادة خطية

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

الجدول 9.1.14 exN: نتائج التحقق لمسألة درجة الحرارة المحددة

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

الجدول 9.1.15 exO: نتائج التحقق لمسألة التدفق الحراري المركز

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

الجدول 9.1.16 exP: نتائج التحقق لمسألة التدفق الحراري الموزع

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

الجدول 9.1.17 exQ: نتائج التحقق لمسألة انتقال الحرارة بالحمل

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

الجدول 9.1.18 exR: نتائج التحقق لمسألة انتقال الحرارة بالإشعاع

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

الجدول 9.1.19 exS: نتائج التحقق لمسألة توليد الحرارة الحجمي

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

الجدول 9.1.20 exT: نتائج التحقق لمسألة الفجوة الداخلية

اسم الحالة	نوع العنصر	العناصر/العقد	المسافة من الطرف A (m)
			الطرف A	2.0	4.0	6.0	8,0	الطرف B
برنامج تجاري	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

التحليل الديناميكي الخطي

في exW، يُجرى تحليل ديناميكي خطي على العارضة الكابولية نفسها كما في البند (1). يوضح الشكل 9.1.12 شروط التحقق. بالنسبة إلى تقسيم الشبكة نفسه، تم التحقق من تأثير الزيادة الزمنية على النتائج. استُخدمت طريقتا التكامل الزمني الضمنية والصريحة، مع نوعي العناصر 361 و342. تظهر نتائج التحقق في الجدول 9.1.22 والأشكال 9.1.13 إلى 9.1.15.

نموذج التحليل

التاريخ الزمني للقوة الخارجية F

الحل النظري لإزاحة نقطة الإثارة كما يلي:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

حيث

\[ F_0:متجه\ ثابت \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

الشكل 9.1.12 شروط التحقق للتحليل الديناميكي الخطي

شروط التحقق:

الطول	\(L\)	\(10.0\ mm\)
عرض المقطع	\(a\)	\(1.0\ mm\)
ارتفاع المقطع	\(b\)	\(1.0\ mm\)
معامل Young	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
نسبة Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
الكثافة	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
تسارع الجاذبية	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
القوة الخارجية	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

العنصر	عنصر سداسي الوجوه خطي
عنصر رباعي السطوح من الدرجة الثانية
طريقة الحل	الطريقة الضمنية
معامل \(\gamma\) لطريقة Newmark-\(\beta\)	1/2
معامل \(\beta\) لطريقة Newmark-\(\beta\)	1/4
الطريقة الصريحة
التخميد	لا يوجد

الجدول 9.1.21 شروط التحقق للتحليل الديناميكي الخطي (تابع)

اسم الحالة	نوع العنصر	عدد العقد	عدد العناصر	طريقة الحل	الزيادة الزمنية \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	الطريقة الصريحة	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.0E-07

الجدول 9.1.22 exW: نتائج التحقق للتحليل الديناميكي الخطي للعارضة الكابولية

اسم الحالة	نوع العنصر	عدد العقد	عدد العناصر	الطريقة	الإزاحة في اتجاه z عند الزمن t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	الطريقة الضمنية	1.9753	تباعد
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	الطريقة الصريحة	1.9753	تباعد

الشكل 9.1.13 مخطط تشوه العارضة الكابولية وتوزيع الإجهاد المكافئ

(a) نوع العنصر 361: الطريقة الضمنية

(b) نوع العنصر 361: الطريقة الصريحة

الشكل 9.1.14 التاريخ الزمني لإزاحة نقطة الإثارة \(u_z\)

(a) نوع العنصر 342: الطريقة الضمنية

(b) نوع العنصر 342: الطريقة الصريحة

الشكل 9.1.14 التاريخ الزمني لإزاحة نقطة الإثارة \(u_z\)

تحليل الاستجابة الترددية

في هذا التحقق، يُجرى تحليل استجابة ترددية على عارضة كابولية، ويُتحقق منه بالمقارنة مع نتائج برنامج تجاري عام. يظهر أدناه نموذج التحليل وشروط التحقق.

شروط التحليل:

معامل Young	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
نسبة Poisson	\(\nu\)	\(0.3\)
الكثافة	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
تسارع الجاذبية	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
الحمل	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
معامل تخميد Rayleigh	\(R_m\)	\(0.0\)
معامل تخميد Rayleigh	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

الشكل 9.1.15 نموذج التحليل (عنصر رباعي السطوح خطي، 126 عنصرًا و55 عقدة)

تظهر أدناه القيم الذاتية حتى النمط الخامس واستجابة التردد عند نقطة الإثارة الناتجة من تحليل القيم الذاتية.

النمط	FrontISTR	برنامج تجاري
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

الشكل 9.1.16 اعتماد شدة الإزاحة عند نقطة الإثارة على التردد