انتقل إلى المحتوى

المشتقات المكانية لدوال الشكل

تُعطى دوال الشكل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) المقدمة في دوال الشكل وتقريب العناصر المحدودة كدوال في الإحداثيات الطبيعية \(\boldsymbol{r}\)، وهي الإحداثيات المحلية للعنصر. ومن ناحية أخرى، تتضمن تكاملات الصيغة الضعيفة، عبر علاقة الانفعال-الإزاحة، مشتقات جزئية بالنسبة إلى الإحداثيات الفيزيائية (التكوين المرجعي \(\boldsymbol{X}\) أو التكوين الحالي \(\boldsymbol{x}\))، أي \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) أو \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). ينظم هذا القسم طريقة حساب المشتقات المكانية لدوال الشكل هذه من إحداثيات عقد العنصر والمشتقات بالنسبة إلى الإحداثيات الطبيعية.

تمثيل المشتقات المكانية بقاعدة السلسلة

بتطبيق قاعدة السلسلة على صيغة الاستيفاء \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (القسم السابق)، وباستخدام مصفوفة جاكوبي \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) للتحويل من الإحداثيات الطبيعية إلى الإحداثيات الفيزيائية، نحصل على

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

هنا، \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) و\(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) مصفوفتان يمثل فيهما الصف \(\alpha\) متجه المشتقات الجزئية للعقدة \(\alpha\)؛ وكل منهما مصفوفة بأبعاد \(n_e \times 3\).

إنشاء مصفوفة جاكوبي

باشتقاق صيغة الاستيفاء بالنسبة إلى \(\boldsymbol{r}\) نحصل على

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

وبالتالي يمكن إنشاء مصفوفة جاكوبي مباشرة من إحداثيات عقد العنصر \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ومشتقات الإحداثيات الطبيعية \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). وتُحدد مشتقات الإحداثيات الطبيعية بواسطة الشكل الدالي لدوال الشكل، وتكون مطبقة مسبقاً لكل نوع عنصر.

يُستخدم محدد مصفوفة جاكوبي \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) في التكامل العددي لتحويل عنصر الحجم وفق \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). وإذا أصبح المحدد \(0\) يكون العنصر منحلّاً وتفشل العملية الحسابية.

سير الحساب

من الاشتقاق أعلاه، يمكن تقسيم حساب المشتقات المكانية \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) إلى المراحل الأربع التالية.

  1. حساب مشتقات الإحداثيات الطبيعية: باستخدام نوع العنصر والإحداثيات الطبيعية \(\boldsymbol{r}\) لنقطة التقييم كمدخلات، تُحسب مصفوفة مشتقات الإحداثيات الطبيعية \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). ونظراً لأن الشكل الدالي لدوال الشكل يختلف باختلاف نوع العنصر، يتفرع التنفيذ وفق نوع العنصر.
  2. حساب مصفوفة جاكوبي: من إحداثيات عقد العنصر \(\boldsymbol{X}^e\) و\(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\)، تُنشأ مصفوفة جاكوبي \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) باستخدام المعادلة في القسم السابق.
  3. حساب المصفوفة المعكوسة والمحدد: تُحسب المصفوفة المعكوسة \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) ومحدد مصفوفة جاكوبي. ويُستخدم المحدد في أوزان التكامل العددي.
  4. حساب المشتقات المكانية: من \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) و\((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\)، تُستخرج المشتقات المكانية \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) بوصفها حاصل ضربهما.

تتفرع هذه المراحل الأربع بحسب نوع العنصر والبعد المكاني (ثنائي أو ثلاثي الأبعاد)، لكن التدفق العام مشترك.

المعالجة المشتركة للتكوينين المرجعي والحالي

يمكن أيضاً تطبيق الإجراء أعلاه ببساطة باستبدال \(\boldsymbol{X}^e\) بإحداثيات العقد الحالية \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) للحصول على المشتقات المكانية \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) في التكوين الحالي. وهكذا يمكن مشاركة الإجراء نفسه بين صيغتي Total Lagrangian وUpdated Lagrangian مع تبديل إحداثيات العقد المدخلة فقط.

موضوعات ذات صلة