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आकार फलनों के स्थानिक अवकलज

आकार फलन और सीमित तत्व सन्निकटन में प्रस्तुत आकार फलन \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) तत्व के स्थानीय निर्देशांक, अर्थात प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\), के फलन के रूप में दिए जाते हैं। दूसरी ओर, कमजोर रूप के समाकल्यों में विकृति-विस्थापन संबंध के माध्यम से भौतिक निर्देशांकों (संदर्भ विन्यास \(\boldsymbol{X}\) या वर्तमान विन्यास \(\boldsymbol{x}\)) के सापेक्ष आंशिक अवकलज \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) अथवा \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) प्रकट होते हैं। यह अध्याय तत्व नोड निर्देशांकों और प्राकृतिक निर्देशांक अवकलजों से इन आकार फलनों के स्थानिक अवकलजों की गणना की प्रक्रिया व्यवस्थित करता है।

श्रृंखला नियम से स्थानिक अवकलज की अभिव्यक्ति

प्रक्षेपण सूत्र \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (पिछला अध्याय) के अंतर्गत श्रृंखला नियम लागू करने पर, प्राकृतिक निर्देशांकों से भौतिक निर्देशांकों तक मैपिंग के Jacobian मैट्रिक्स \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) का उपयोग करके

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

प्राप्त होता है। यहाँ \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) और \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ऐसे मैट्रिक्स हैं जिनकी पंक्ति \(\alpha\) नोड \(\alpha\) के आंशिक-अवकलज वेक्टर को दर्शाती है; प्रत्येक \(n_e \times 3\) मैट्रिक्स है।

Jacobian मैट्रिक्स का निर्माण

प्रक्षेपण सूत्र का \(\boldsymbol{r}\) के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

प्राप्त होता है, अतः Jacobian मैट्रिक्स को तत्व नोड निर्देशांकों \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) और प्राकृतिक निर्देशांक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) से सीधे बनाया जा सकता है। प्राकृतिक निर्देशांक अवकलज आकार फलनों के फलनिक रूप से निर्धारित होते हैं और प्रत्येक तत्व प्रकार के लिए पहले से कार्यान्वित होते हैं।

Jacobian मैट्रिक्स का determinant \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) संख्यात्मक समाकलन में आयतन तत्व के रूपांतरण \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) के लिए उपयोग होता है। determinant \(0\) होने पर तत्व अपकृष्ट होता है और गणना विफल हो जाती है।

गणना प्रवाह

उपरोक्त व्युत्पत्ति से स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) की गणना को निम्न चार चरणों में विभाजित किया जा सकता है।

  1. प्राकृतिक निर्देशांक अवकलज की गणना: तत्व प्रकार और मूल्यांकन बिंदु के प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r}\) को इनपुट के रूप में लेकर प्राकृतिक निर्देशांक अवकलज मैट्रिक्स \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) की गणना करें। आकार फलनों का फलनिक रूप तत्व प्रकार के अनुसार बदलता है, इसलिए प्रक्रिया तत्व प्रकार के अनुसार शाखित होती है।
  2. Jacobian मैट्रिक्स की गणना: तत्व नोड निर्देशांक \(\boldsymbol{X}^e\) और \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) से पिछले खंड के समीकरण के अनुसार Jacobian मैट्रिक्स \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) बनाएं।
  3. व्युत्क्रम मैट्रिक्स और determinant की गणना: Jacobian मैट्रिक्स का व्युत्क्रम \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) और determinant गणना करें। determinant का उपयोग संख्यात्मक समाकलन के भार में किया जाता है।
  4. स्थानिक अवकलज की गणना: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) और \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) के गुणनफल के रूप में स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) प्राप्त करें।

ये चार चरण तत्व प्रकार और स्थानिक आयाम (दो या तीन आयाम) के अनुसार शाखित होते हैं, लेकिन समग्र प्रवाह समान है।

संदर्भ और वर्तमान विन्यास में साझा प्रक्रिया

उपरोक्त प्रक्रिया में \(\boldsymbol{X}^e\) को केवल वर्तमान विन्यास के नोड निर्देशांकों \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) से बदलकर वर्तमान विन्यास के स्थानिक अवकलज \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) पर भी लागू किया जा सकता है। अतः केवल इनपुट नोड निर्देशांक बदलकर वही प्रक्रिया Total Lagrange और Updated Lagrange विधियों के बीच साझा की जा सकती है।

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