आभासी कार्य का सिद्धांत¶

तनाव और संरक्षण नियम में व्युत्पन्न संतुलन समीकरण और सीमा स्थितियों के आधार पर सतत यांत्रिकी की सीमा-मूल्य समस्या का दुर्बल रूप, अर्थात आभासी कार्य का सिद्धांत, व्युत्पन्न किया जाता है। सीमित तत्व विधि में विविक्तीकरण इसी दुर्बल रूप से प्रारंभ होता है। इस अध्याय में वर्तमान विन्यास (Cauchy तनाव और Almansi विकृति के रैखिक भाग द्वारा निरूपण) तथा संदर्भ विन्यास (द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव और Green-Lagrange विकृति द्वारा निरूपण) दोनों रूप प्रस्तुत किए जाते हैं, उनकी समतुल्यता दिखाई जाती है, और अंत में लघु-विरूपण सीमा में उनका रूप देखा जाता है।

संतुलन समीकरण और सीमा स्थितियाँ¶

सतत पिंड पर कार्य करने वाले प्रति इकाई द्रव्यमान पिंड बल को \(\boldsymbol{g}\) मानें और वर्तमान विन्यास में क्षेत्र \(\Omega\) घेरने वाले पिंड पर विचार करें। सीमा \(\Gamma\) को उस ज्यामितीय सीमा \(\Gamma_B\) में, जहाँ विस्थापन \(\bar{\boldsymbol{u}}\) निर्दिष्ट है, और उस यांत्रिक सीमा \(\Gamma_t\) में, जहाँ पृष्ठ बल \(\bar{\boldsymbol{t}}\) निर्दिष्ट है, विभाजित किया जाता है; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) तथा \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\)। स्थैतिक समस्या में तनाव और संरक्षण नियम में दिए गए संवेग संरक्षण नियम से जड़त्व पद हटाकर प्राप्त

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

को संतुलन समीकरण माना जाता है। सीमा स्थितियाँ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]

\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

से दी जाती हैं। आगे आभासी कार्य के सिद्धांत को संतुलन समीकरण और यांत्रिक सीमा स्थिति \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) के दुर्बल रूप के रूप में व्युत्पन्न किया जाता है। ज्यामितीय सीमा स्थिति \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) परीक्षण फलन के चयन के माध्यम से सम्मिलित होती है।

वर्तमान विन्यास में दुर्बल रूप¶

दुर्बल रूप में अज्ञात विस्थापन का ग्राह्य स्थान और परीक्षण फलन स्थान क्रमशः

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

माने जाते हैं। यहाँ \(d\) स्थानिक आयाम है, \(H^1(\Omega)\) वह Sobolev स्थान है जिसमें प्रथम दुर्बल अवकलज तक वर्ग-समाकलनीय हैं, और \(\delta\) परिवर्तन का प्रतीक है। वर्तमान विन्यास निरूपण में \(\Omega\) विकृत विन्यास है; वास्तविक संख्यात्मक समाधान में इसे संदर्भ विन्यास या किसी ज्ञात मध्यवर्ती विन्यास पर वापस खींचकर संभाला जाता है।

संतुलन समीकरण को भार \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) से गुणा कर, Gauss अपसरण प्रमेय और यांत्रिक सीमा स्थिति लागू करने पर वर्तमान विन्यास में आभासी कार्य का सिद्धांत निम्न रूप लेता है।

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

यहाँ \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi विकृति टेन्सर का रैखिक भाग है और

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

से परिभाषित है। इसका परिवर्तन \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) है। अर्थात \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) ज्ञात करना है ताकि किसी भी \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) के लिए आभासी कार्य समीकरण संतुष्ट हो। बायाँ पक्ष आंतरिक बल का आभासी कार्य और दायाँ पक्ष निर्दिष्ट पृष्ठ बल तथा पिंड बल का बाह्य आभासी कार्य है।

यह समीकरण विकृत (वर्तमान) विन्यास के क्षेत्र में लिखा गया है। इसलिए वास्तविक समाधान में प्रारंभिक विन्यास \(\Omega_0\) (संदर्भ विन्यास) या किसी ज्ञात मध्यवर्ती विन्यास को संदर्भ के रूप में पुनः चुनकर इसे वृद्धिशील रूप में लिखा और हल किया जाता है। संदर्भ विन्यास के ठोस चयन (Total Lagrange / Updated Lagrange) और वृद्धिशील विभाजन के लिए वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा देखें।

प्रारंभिक विन्यास में दुर्बल रूप¶

संदर्भ विन्यास में क्षेत्र \(\Omega_0\) घेरने वाले पिंड पर विचार करें और उसकी सीमा \(\Gamma_0\) को \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) में विभाजित करें। वर्तमान विन्यास के निरूपण को संदर्भ विन्यास पर वापस खींचने पर तनाव-विकृति का ऊर्जा-संयुग्मी युग्म द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) बनता है। तब प्रारंभिक विन्यास में आभासी कार्य का सिद्धांत

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ \(\rho_0\) संदर्भ विन्यास का द्रव्यमान घनत्व है और द्रव्यमान संरक्षण \(\rho_0 = J\rho\) के कारण यह वर्तमान विन्यास में पिंड-बल निरूपण के समतुल्य है।

वर्तमान और प्रारंभिक विन्यास निरूपण की समतुल्यता¶

दोनों निरूपणों में आंतरिक बल का आभासी कार्य विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) और आयतन अनुपात \(J = \det \boldsymbol{F}\) के रूपांतरण से समान होता है। अर्थात

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

है। बाह्य बल पद भी द्रव्यमान संरक्षण और पृष्ठ बल के रूपांतरण से समतुल्य हैं। अतः वर्तमान विन्यास और प्रारंभिक विन्यास के आभासी कार्य समीकरण एक ही सिद्धांत के अलग-अलग विन्यासों में निरूपण हैं। संदर्भ विन्यास को आधार बनाने वाला समाधान Total Lagrange विधि और वर्तमान विन्यास (पिछला अभिसरित विन्यास) को आधार बनाने वाला समाधान Updated Lagrange विधि से संबंधित है।

लघु-विरूपण सीमा में रूप¶

लघु-विरूपण मान्यता \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) तथा \(J \approx 1\) के अंतर्गत वर्तमान और संदर्भ विन्यास का अंतर समाप्त हो जाता है; द्वितीय PK तनाव Cauchy तनाव के समान हो जाता है (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), और Green-Lagrange विकृति तथा Almansi विकृति का रैखिक भाग दोनों लघु विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) में परिणत होते हैं।

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

तब आभासी कार्य का सिद्धांत Cauchy तनाव \(\boldsymbol{\sigma}\) और लघु विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) वाले दुर्बल रूप

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

में परिणत होता है। यह लघु-विरूपण, रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण में सीधे विविक्तीकरण के लिए प्रयुक्त दुर्बल रूप है (रैखिक प्रत्यास्थ स्थैतिक विश्लेषण (परिचय/परिशिष्ट) में इसी रूप से प्रारंभ कर तत्व कठोरता \(\boldsymbol{K}^e\) के निर्माण से लेकर वैश्विक समीकरण \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) के संयोजन तक दिखाया गया है)।

रैखिक प्रत्यास्थ संघटन नियम \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) रखने और Voigt निरूपण में \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिखने पर दुर्बल रूप

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

के रूप में मिलता है।