रैखिक प्रत्यास्थता¶

यह अध्याय रैखिक प्रत्यास्थ सामग्रियों के संघटक नियम (Hooke का नियम) का वर्णन करता है। मॉडल चयन और इनपुट विनिर्देश के विवरण के लिए फ़ंक्शन अनुभाग 03_material देखें।

परिघटना (रैखिक प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया)¶

रैखिक प्रत्यास्थ निकाय वह सामग्री है जिसमें भार के अधीन विकृति पर्याप्त रूप से छोटी होने की सीमा में तनाव और विकृति के बीच रैखिक संबंध होता है, और भार हटाने पर पूरी विकृति मूल अवस्था में लौट आती है; अर्थात प्रतिक्रिया प्रतिवर्ती और इतिहास-स्वतंत्र होती है। प्लास्टिसिटी या क्रीप के विपरीत, इसमें अवस्था को दर्शाने वाले आंतरिक चर (जैसे प्लास्टिक विकृति या श्यान विकृति) नहीं होते, और तनाव केवल वर्तमान विकृति से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

लघु-विकृति सीमा में Cauchy तनाव \(\boldsymbol{\sigma}\) और सूक्ष्म विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon}\) का उपयोग किया जाता है; सीमित-विकृति सीमा में (वे समस्याएँ जिनमें बड़े घूर्णन शामिल हों लेकिन स्वयं विकृति छोटी हो) द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) का उपयोग किया जाता है (St.Venant-Kirchhoff सामग्री)।

संघटक नियम¶

समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री¶

लघु-विकृति सीमा में समदैशिक Hooke का नियम Lamé स्थिरांकों \(\lambda, \mu\) का उपयोग करके इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

अवयव रूप में,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

और विकृति के साथ द्विगुण संकुचन से \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) प्राप्त होता है। Lamé स्थिरांकों का Young मापांक \(E\) और Poisson अनुपात \(\nu\) से संबंध इस प्रकार है:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt संकेतन में विकृति सदिश \(\hat{\varepsilon}\) और तनाव सदिश \(\hat{\sigma}\) का संबंध \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) लिखा जाता है, और त्रि-आयामी सामग्री मैट्रिक्स \(D\) है

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

कार्यान्वयन में इस मैट्रिक्स निरूपण का उपयोग किया जाता है।

ऑर्थोट्रॉपिक रैखिक प्रत्यास्थ सामग्री¶

जिन सामग्रियों में प्रत्यास्थ स्थिरांक प्रधान-अक्ष दिशा के अनुसार भिन्न होते हैं, उनके लिए नौ स्वतंत्र स्थिरांकों वाला ऑर्थोट्रॉपिक मॉडल उपयोग किया जाता है: प्रधान-अक्ष दिशाओं में Young मापांक \(E_1, E_2, E_3\), प्रधान अक्षों के बीच Poisson अनुपात \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), और कतरनी मापांक \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\)। \(D\) मैट्रिक्स के स्पष्ट रूप के लिए मानक संदर्भ देखें।

सीमित-विकृति सीमा: St.Venant-Kirchhoff सामग्री¶

उन समस्याओं में जिनमें बड़े घूर्णन शामिल हों लेकिन स्वयं विकृति छोटी हो, द्वितीय Piola-Kirchhoff तनाव \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\) को जोड़ने वाले रैखिक प्रत्यास्थ नियम के रूप में St.Venant-Kirchhoff सामग्री का उपयोग किया जाता है:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé स्थिरांकों \(\lambda, \mu\) की परिभाषाएँ लघु-विकृति मामले जैसी ही हैं। तथापि, तनाव-विकृति युग्म की परिभाषाएँ भिन्न होने के कारण यह लघु-विकृति के Hooke नियम से अलग संघटक नियम है।

हाइपोइलास्टिक सामग्री¶

Updated Lagrange विधि में, सापेक्ष Kirchhoff तनाव टेन्सर की Jaumann दर \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) और विकृति-दर टेन्सर \(\boldsymbol{D}\) के बीच रैखिक प्रत्यास्थ नियम अपनाने वाली हाइपोइलास्टिक सामग्री उपयोग की जाती है:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

यहाँ भी Lamé स्थिरांकों के संदर्भ में \(\boldsymbol{C}\) की परिभाषा ऊपर जैसी ही है, लेकिन तनाव-विकृति युग्म भिन्न होने के कारण यह अलग संघटक नियम है। समय-समाकलन प्रक्रिया (forward Euler integration और central-difference approximation) द्वारा \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) को अद्यतन करने का विवरण tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex में देखें।

द्वि-आयामी विश्लेषण और शेल एलिमेंटों के लिए सरलीकरण¶

समतल तनाव (\(\sigma_{33} = 0\))¶

पतली प्लेटों और शेलों पर भार को निरूपित करने वाले समतल तनाव में \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) माना जाता है, और समतल से बाहर की विकृति अवयव \(\varepsilon_{33}\) को बीजगणितीय रूप से हटाकर प्राप्त \(D\) का उपयोग किया जाता है:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

समतल विकृति (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

मोटाई दिशा में प्रतिबंधित लंबी संरचना के अनुप्रस्थ काट को निरूपित करने वाले समतल-विकृति मामले में \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) माना जाता है:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

अक्षसममित¶

बेलनाकार निर्देशांक \((r, \theta, z)\) में \(\theta\) दिशा में समान समस्याओं को संभालने वाले अक्षसममित विश्लेषण में चार अवयव \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) और \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) बनाए रखे जाते हैं, और

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

प्राप्त होता है।

शेल एलिमेंट (समतल तनाव + अनुप्रस्थ कतरनी)¶

शेल एलिमेंटों के लिए समतल-अंतर्गत तनाव को समतल तनाव के रूप में लिया जाता है, और अनुप्रस्थ कतरनी विकृति अवयव \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) के लिए कतरनी सुधार गुणांक \(\kappa\) (सामान्यतः \(\kappa = 5/6\)) के साथ \(\kappa\, G\) उपयोग किया जाता है। प्रत्येक एलिमेंट की विस्तृत संरचना के लिए उन्नत एलिमेंट सूत्रीकरण देखें। फ़ंक्शन अनुभाग 03_material में दिया गया विनिर्देश कि "शेल एलिमेंट केवल रैखिक प्रत्यास्थता का समर्थन करते हैं" समतल-अंतर्गत अवस्था को समतल तनाव मानने की इसी सरलीकरण पर आधारित है।

तापमान निर्भरता¶

Young मापांक \(E\), Poisson अनुपात \(\nu\) और रैखिक प्रसार गुणांक \(\alpha\) सामान्यतः तापमान \(T\) के फलन के रूप में निर्दिष्ट किए जाते हैं। FrontISTR में सीमित तापमान बिंदुओं \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) के लिए मान दिए जाते हैं, और गणना के दौरान तापमान \(T\) पर मान का आकलन आसन्न बिंदुओं के बीच रैखिक इंटरपोलेशन से किया जाता है। सीमा से बाहर के तापमान (\(T < T_1\) या \(T > T_n\)) के लिए निकटतम अंतिम बिंदु \(T_1\) या \(T_n\) का मान एक्सट्रपोलेशन हेतु उपयोग किया जाता है (स्थिर एक्सट्रपोलेशन)।

तापीय और ऊष्मा-चालन गुणों (घनत्व, विशिष्ट ऊष्मा और तापीय चालकता) की तापमान निर्भरता के लिए तापीय गुण देखें। इंटरपोलेशन नियम इन गुणों के लिए समान हैं।