उच्च-प्रदर्शन तत्व सूत्रीकरण¶

3D ठोस तत्व सूत्रीकरण में दिखाया गया मानक विस्थापन-आधारित सूत्रीकरण लगभग असंपीड्य सामग्री या बेंडिंग-प्रधान पतली संरचनाओं पर लागू करने पर लॉकिंग (आयतन लॉकिंग और कतरनी लॉकिंग) कहलाने वाली अनुचित अत्यधिक कठोरता दिखाता है। इसे टालने के लिए FrontISTR में B-bar और F-bar विधियाँ हैं, जो क्रमशः B मैट्रिक्स या विरूपण प्रवणता के केवल आयतन भाग को प्रतिस्थापित करती हैं; असंगत तत्व हैं जो आंतरिक स्वतंत्रता-डिग्री जोड़ते हैं; u-p मिश्रित तत्व हैं जो दाब को स्वतंत्र अज्ञात क्षेत्र मानते हैं; तथा प्लेट और बीम संरचनाओं के लिए MITC शेल तत्व और बीम तत्व हैं।

इस अध्याय में इन उच्च-प्रदर्शन और संरचनात्मक तत्वों के सूत्रीकरण को तत्व-वार व्यवस्थित किया गया है।

B-bar विधि¶

लगभग असंपीड्य सामग्री के लिए 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्व का उपयोग करने पर एक तत्व के भीतर विकृति स्थिर आयतन प्रतिबंध से असंगत हो सकती है और आयतन लॉकिंग नामक अत्यधिक कठोरता उत्पन्न होती है। B-bar विधि B मैट्रिक्स के आयतन प्रसार में योगदान देने वाले घटकों को तत्व केंद्र पर मूल्यांकित मानों से बदलकर अत्यधिक प्रतिबंध को कम करती है [Hughes1980]।

तत्व केंद्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) पर आकार फलनों के स्थानिक अवकलज से गणना किए गए B मैट्रिक्स को \(\bar{\boldsymbol{B}}\) और समाकलन बिंदु \(\boldsymbol{r}\) पर गणना किए गए सामान्य B मैट्रिक्स को \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) मानें। नोड \(\alpha\) की स्वतंत्रता-डिग्री \(i\) के लिए विस्थापन-विकृति संबंध में आयतन विकृति घटकों \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) में

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

जोड़ा जाता है, जबकि कतरनी घटकों \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) के लिए सामान्य \(\boldsymbol{B}\) का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार प्राप्त B-bar मैट्रिक्स से तत्व कठोरता और आंतरिक बल वेक्टर संयोजित किए जाते हैं।

FrontISTR इस सूत्रीकरण को केवल 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्व (तत्व ID 361, तत्व क्रमांकन प्रणाली) के लिए प्रदान करता है, और इसे लघु विरूपण, Total Lagrange तथा Updated Lagrange सभी में लागू किया जा सकता है।

F-bar विधि¶

सीमित विरूपण में आयतन परिवर्तन विरूपण प्रवणता \(\boldsymbol{F}\) के माध्यम से गैर-रेखीय रूप से प्रभाव डालता है; इसलिए B-bar विधि के समतुल्य आयतन लॉकिंग उपाय को विरूपण प्रवणता के स्तर पर लागू करने वाली विधि F-bar [deSouzaNeto1996] है।

तत्व केंद्र \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) पर मूल्यांकित विरूपण प्रवणता का आयतन अनुपात \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) और समाकलन बिंदु पर विरूपण प्रवणता का आयतन अनुपात \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) मानकर, समाकलन बिंदु की विरूपण प्रवणता को

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

से प्रतिस्थापित किया जाता है। इससे \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) होता है और पूरे तत्व में आयतन अनुपात तत्व-केंद्र मान के बराबर हो जाता है। तनाव मूल्यांकन और विकृति-विस्थापन मैट्रिक्स के निर्माण में प्रतिस्थापित \(\bar{\boldsymbol{F}}\) का उपयोग किया जाता है, तथा तत्व कठोरता में इस प्रतिस्थापन से उत्पन्न अतिरिक्त पदों सहित स्पर्शरेखीय मैट्रिक्स संयोजित किया जाता है।

FrontISTR में F-bar विधि केवल 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्व के लिए लागू है और लघु विरूपण तथा Total Lagrange / Updated Lagrange दोनों गैर-रेखीय ज्यामितीय रूपों में उपयोग की जा सकती है।

असंगत तत्व¶

8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्व में बेंडिंग मोड के लिए आवश्यक विकृति स्वतंत्रता-डिग्री नहीं होती और बेंडिंग-प्रधान समस्याओं में बेंडिंग लॉकिंग होती है। असंगत तत्व [Taylor1976] इस कमी की पूर्ति के लिए तत्व के भीतर अतिरिक्त विस्थापन मोड जोड़ता है।

तत्व नोडीय विस्थापन \(\boldsymbol{u}^e\) के अतिरिक्त केवल तत्व के भीतर मौजूद असंगत मोड स्वतंत्रता-डिग्री \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) को प्रति तत्व 3 दिशाएँ × 3 मोड के रूप में जोड़ा जाता है, और विस्थापन क्षेत्र को

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

से सन्निकट किया जाता है। प्राकृतिक निर्देशांक \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) के लिए असंगत आकार फलन \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) लिए जाते हैं। ये तत्व सीमा पर सततता की गारंटी नहीं देते, लेकिन तत्व के भीतर बेंडिंग मोड की विकृति पुनरुत्पन्न करने वाला स्थान जोड़ते हैं।

तत्व कठोरता को बाह्य और आंतरिक स्वतंत्रता-डिग्री के ब्लॉक विभाजन

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

के रूप में संयोजित करने के बाद, आंतरिक स्वतंत्रता-डिग्री को \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) से हटाने के लिए स्थैतिक संघनन किया जाता है, और केवल बाह्य स्वतंत्रता-डिग्री वाली तत्व कठोरता

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

को वैश्विक संयोजन में भेजा जाता है।

FrontISTR असंगत तत्व को केवल 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्व (C3D8IC) के लिए लागू करता है और इसे लघु विरूपण, Total Lagrange तथा Updated Lagrange सभी में उपयोग किया जा सकता है।

U-P मिश्रित तत्व¶

जहाँ B-bar और F-bar विधियाँ विस्थापन-आधारित ढाँचे के भीतर आयतन घटक को संशोधित करती हैं, वहीं u-p मिश्रित (U-P) तत्व दाब \(\lambda\) को विस्थापन से स्वतंत्र अज्ञात क्षेत्र के रूप में प्रस्तुत करने वाला मिश्रित सूत्रीकरण [Bathe1996] है। लगभग असंपीड्य सामग्री (जैसे Poisson अनुपात 0.5 के बहुत निकट वाली रबर-जैसी सामग्री या प्लास्टिक विरूपण के बाद धातु) में केवल विस्थापन क्षेत्र से स्थिर-आयतन प्रतिबंध पूरा करने का प्रयास आयतन लॉकिंग पैदा करता है; दाब को स्वतंत्र चर बनाने से यह प्रतिबंध शिथिल होता है।

तनाव को विचलनी घटक और दाब में विभाजित कर

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

के रूप में लिखा जाता है। यहाँ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) प्रत्यास्थता मैट्रिक्स से बल्क मापांक \(K\) के समानुपाती आयतन भाग हटाने के बाद का विचलनी प्रत्यास्थता मैट्रिक्स है। दाब \(\lambda\) और आयतन विकृति \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) संपीड्यता \(\alpha^{-1} = 1/K\) के माध्यम से प्रतिबंध समीकरण

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

से जुड़े हैं। विस्थापन \(\boldsymbol{u}\) और दाब \(\lambda\) को अज्ञात मानकर विविक्तीकरण से तत्व का संयुक्त समीकरण

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

मिलता है। यहाँ \(\mathbf{K}_{uu}\) विचलनी प्रत्यास्थ घटक और (सीमित विरूपण में) ज्यामितीय कठोरता है, \(\mathbf{K}_{up}\) आयतन विकृति और दाब को जोड़ने वाला मैट्रिक्स है, और \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) दाब का स्थिरीकरण पद है (\(\boldsymbol{N}_p\) दाब का आकार फलन है)। दाब स्वतंत्रता-डिग्री तत्व के भीतर बंद रहती हैं, इसलिए

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

के रूप में स्थैतिक संघनन करके केवल बाह्य (विस्थापन) स्वतंत्रता-डिग्री की प्रभावी कठोरता वैश्विक संयोजन में भेजी जाती है।

FrontISTR U-P तत्व को केवल 8-नोड रैखिक हेक्साहेड्रल तत्व के लिए लागू करता है और प्रति तत्व दाब की 1 स्वतंत्रता-डिग्री (तत्व के भीतर स्थिर) रखता है। इसे लघु विरूपण, Total Lagrange तथा Updated Lagrange सभी में लागू किया जा सकता है। Updated Lagrange में विचलनी तनाव को वस्तुनिष्ठ तनाव दर (Jaumann/Hughes-Winget प्रकार) से अद्यतन करने के बाद, दाब \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) को स्थैतिक संघनन से प्राप्त मान से लगाया जाता है।

शेल तत्व¶

पतली प्लेट और शेल संरचनाओं के लिए Reissner-Mindlin प्लेट-शेल सिद्धांत पर आधारित शेल तत्व का उपयोग किया जाता है। निम्न-क्रम विस्थापन-आधारित प्लेट-शेल तत्व में मोटाई कम होने पर अनुप्रस्थ कतरनी विकृति आयतन लॉकिंग जैसी प्रक्रिया (कतरनी लॉकिंग) से अधिक आंकी जाती है और बेंडिंग मोड के प्रति कठोरता अपसारी रूप से बढ़ती है। MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) विधि [Dvorkin1984] [Bathe1986] केवल कतरनी-विकृति घटकों को तत्व के भीतर पूर्वनिर्धारित tying points पर पुनः नमूना लेकर और नमूना मानों को तत्व के भीतर पुनः अंतर्वेशित करके इस समस्या से बचती है।

MITC शेल तत्व के नोड वक्र पृष्ठ पर मध्य-पृष्ठ नोड होते हैं और प्रत्येक नोड में 3 स्थानांतरण घटक तथा मध्य-पृष्ठ अभिलंब के चारों ओर 3 घूर्णन घटक, कुल 6 स्वतंत्रता-डिग्री होती हैं। तत्व कठोरता का मूल्यांकन मध्य-पृष्ठ के प्राकृतिक निर्देशांकों और मोटाई दिशा सहित कुल 3D Gauss समाकलन से किया जाता है, और प्लेट मोटाई \(h\) संघटन नियम की गणना के समय तत्व गुण के रूप में दी जाती है।

FrontISTR एकल मध्य-पृष्ठ परत वाले MITC3 (तत्व ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743), और मोटाई दिशा में नोडों की 2 परत वाले layered shell elements MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 नोड, प्रति नोड 3 स्वतंत्रता-डिग्री) तथा MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 नोड, प्रति नोड 3 स्वतंत्रता-डिग्री) प्रदान करता है। layered shell elements में नोडीय स्वतंत्रता-डिग्री केवल 3 स्थानांतरण घटक होती हैं और घूर्णन स्वतंत्रता-डिग्री के समतुल्य बेंडिंग मोड को दो-परत विन्यास से व्यक्त किया जाता है।

बीम तत्व¶

गर्डर और फ्रेम जैसी रेखीय संरचनाओं को बीम तत्वों से विविक्त किया जाता है। FrontISTR कतरनी विरूपण को ध्यान में रखने वाला Timoshenko बीम सूत्रीकरण उपयोग करता है और बेंडिंग तथा कतरनी दोनों को विस्थापन और घूर्णन स्वतंत्रता-डिग्री के फलन के रूप में व्यक्त करता है।

बीम तत्व के नोड में 3 स्थानांतरण घटक तथा अक्ष और अनुप्रस्थ अक्षों के चारों ओर 3 घूर्णन घटक, कुल 6 स्वतंत्रता-डिग्री होती हैं। तत्व कठोरता का मूल्यांकन बीम की अक्षीय दिशा में 1D संख्यात्मक समाकलन से किया जाता है। अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल \(A\) और बेंडिंग/टॉर्शन दिशाओं के क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण \(I\) को बीम के अनुप्रस्थ काट नियतांक के रूप में तत्व गुण में दिया जाता है, और सामग्री के Young मापांक \(E\) तथा कतरनी मापांक \(G\) के साथ वे अक्षीय, बेंडिंग, टॉर्शन और कतरनी कठोरता गुणांक बनाते हैं।

FrontISTR 2-नोड सीधा बीम तत्व (तत्व ID 611) और 3 नोड से व्यक्त 4-नोड टेट्राहेड्रल ठोस-बीम हाइब्रिड तत्व (641, मिश्रित स्वतंत्रता-डिग्री के लिए) प्रदान करता है।