गैर-रेखीय पुनरावृत्ति और समय एकीकरण¶

FrontISTR प्रत्येक चरण के increment control के भीतर हर substep पर गैर-रेखीय पुनरावृत्तियों और समय एकीकरण को संयोजित करके समाधान आगे बढ़ाता है। यह पृष्ठ बाहरी step control और आंतरिक linear solver के बीच स्थित iterative structures का वर्णन करता है: Newton-Raphson iterations, contact iterations, गतिशील विश्लेषण के लिए time integration, और अस्थिर ऊष्मा चालन में समय अग्रगमन तथा गैर-रेखीय पुनरावृत्ति का framework।

अवलोकन¶

किसी चरण के भीतर गैर-रेखीय समाधान और समय एकीकरण की nested संरचना होती है, जिसमें बाहर से भीतर की ओर कई loops होते हैं। प्रत्येक परत की भूमिका निम्न है।

परत	भूमिका	मुख्य संदर्भ पृष्ठ
चरण लूप	पूरे विश्लेषण को कई चरणों में विभाजित करता है और सीमा शर्तें, भार, संपर्क तथा तत्व activation बदलता है।	चरण नियंत्रण
सबस्टेप लूप	एक चरण को समय increments में विभाजित करता है और fixed increments या automatic increments तथा cutback का उपयोग करके आगे बढ़ता है।	चरण नियंत्रण
समय-एकीकरण अवस्था अग्रगमन	गतिशील विश्लेषण और अस्थिर ऊष्मा चालन में पिछले चरण की अवस्था से अगले समय की अवस्था प्राप्त करता है।	यह पृष्ठ
संपर्क-अवस्था खोज लूप	संपर्क विश्लेषण में संपर्क अवस्था (contact/separation) के परिवर्तन खोजता है और कठोरता मैट्रिक्स की संरचना अद्यतन करता है।	यह पृष्ठ
Augmented Lagrange बाहरी पुनरावृत्ति	`ALAGRANGE` संपर्क के साथ संपर्क-बाधा की शुद्धता को क्रमशः सुधारता है।	यह पृष्ठ
Newton पुनरावृत्ति	Newton-Raphson विधि का उपयोग करके गैर-रेखीय संतुलन समीकरणों को पुनरावृत्त रूप से हल करता है।	यह पृष्ठ
रैखिक तंत्र समाधान	प्रत्येक Newton पुनरावृत्ति पर टैन्जेंट कठोरता मैट्रिक्स पर आधारित रैखिक तंत्र हल करता है।	सॉल्वर और प्रीकंडीशनिंग

इन परतों में से कौन-सी प्रकट होती हैं, यह विश्लेषण प्रकार पर निर्भर करता है।

विश्लेषण प्रकार	समय एकीकरण	संपर्क-अवस्था खोज	बाहरी पुनरावृत्ति	Newton पुनरावृत्ति
रैखिक स्थैतिक विश्लेषण	—	—	—	—
गैर-रेखीय स्थैतिक विश्लेषण (संपर्क के बिना)	—	—	—	हाँ
गैर-रेखीय स्थैतिक विश्लेषण (`SLAGRANGE` संपर्क)	—	हाँ	—	हाँ
गैर-रेखीय स्थैतिक विश्लेषण (`ALAGRANGE` संपर्क)	—	हाँ	हाँ	हाँ
गतिशील विश्लेषण, implicit	Newmark-β	—	—	हाँ (गैर-रेखीय होने पर)
गतिशील विश्लेषण, explicit	Central difference	—	—	—
आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण	Modal superposition	—	—	—
अस्थिर ऊष्मा चालन	Crank-Nicolson / Backward Euler	—	—	हाँ (जब सामग्री गुण तापमान पर निर्भर हों)
स्थिर ऊष्मा चालन	—	—	—	हाँ (जब सामग्री गुण तापमान पर निर्भर हों)

संपर्क प्रकार और algorithm के चयन के लिए संपर्क और Embedding देखें। यह पृष्ठ बताता है कि चयनित algorithm को iterative loop के रूप में कैसे व्यवस्थित किया जाता है।

समाधान योजना चुनना¶

iterative structure चयनित विश्लेषण प्रकार (विश्लेषण प्रकार), nonlinearity की उपस्थिति या अनुपस्थिति (ज्यामितीय nonlinearity, सामग्री nonlinearity, या contact), और contact algorithm (SLAGRANGE या ALAGRANGE) से स्वतः निर्धारित होती है। उपयोगकर्ता iteration counts की ऊपरी सीमाएँ और convergence criteria सीधे समायोजित करता है।

इन सेटिंग्स को tune करते समय निम्न दिशानिर्देश लागू होते हैं।

मानक विश्लेषणों के लिए iterations की संख्या की डिफ़ॉल्ट ऊपरी सीमा सामान्यतः पर्याप्त होती है। यदि अभिसरण में कठिन समस्या अधिकतम iterations तक पहुँचकर भी converge न हो, तो पहले cutback (चरण नियंत्रण) उपयोग करें; केवल तब ऊपरी सीमा बढ़ाएँ जब इससे अभिसरण में सुधार न हो।
विश्लेषण स्थिरता और गणना समय के बीच संतुलन के लिए convergence criteria समायोजित करें। अधिक कठोर criteria संतुलन शुद्धता सुधारते हैं लेकिन iterations बढ़ाते हैं। contact analyses और Lagrange multipliers वाले analyses में displacement-increment या Lagrange criteria को residual criterion के साथ जोड़ने से स्थिरता सुधर सकती है।
गतिशील विश्लेषण के time-integration parameters (Newmark-β coefficients) के लिए, मानों के किसी मानक संयोजन से शुरू करें और कंपन प्रतिक्रिया की numerical-damping विशेषताएँ बदलते समय उन्हें समायोजित करें।
अस्थिर ऊष्मा चालन में time-integration scheme के लिए, smooth तापमान परिवर्तन वाली समस्याओं में Crank-Nicolson और तीव्र परिवर्तन या दीर्घकालीन स्थिरता अधिक महत्वपूर्ण होने पर Backward Euler उपयोग करें।

स्थैतिक विश्लेषण में Newton-Raphson पुनरावृत्ति¶

गैर-रेखीय स्थैतिक विश्लेषण में ज्यामितीय या सामग्री nonlinearity वाले संतुलन समीकरण Newton-Raphson विधि से पुनरावृत्त रूप से हल किए जाते हैं। प्रत्येक पुनरावृत्ति निम्न प्रकार आगे बढ़ती है।

वर्तमान समाधान पर residual vector \(\boldsymbol{R}\) का मूल्यांकन करें।
tangent stiffness matrix \(\boldsymbol{K}_T\) assemble करें।
displacement correction \(\Delta \boldsymbol{u}\) प्राप्त करने के लिए linear system \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) हल करें।
समाधान को \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) के रूप में अद्यतन करें।
convergence criteria से तुलना करें। अभिसरण प्राप्त होने पर पुनरावृत्ति समाप्त करें; अन्यथा चरण 1 पर लौटें।

linear solver linear-system solution (चरण 3) करता है। solver और preconditioner के चयन के लिए सॉल्वर और प्रीकंडीशनिंग देखें।

पुनरावृत्ति को !STEP के step-control parameters से नियंत्रित किया जाता है। मुख्य नियंत्रण मान निम्न हैं।

भूमिका	पैरामीटर
पुनरावृत्तियों की संख्या की ऊपरी सीमा। सीमा तक पहुँचने पर भी अभिसरण न होने पर substep पर cutback लागू होता है।	`MAXITER`
relative residual norm पर आधारित convergence criterion।	`CONVERG`
displacement correction के norm ratio पर आधारित convergence criterion। स्थिरता सुधारने के लिए residual criterion के साथ उपयोग किया जाता है।	`CONVERG_DDISP`
residual norm के लिए divergence criterion। इस मान से अधिक होने पर पुनरावृत्ति समाप्त कर दी जाती है।	`MAXRES`

चरण नियंत्रण में automatic-increment और cutback निर्णयों द्वारा संदर्भित अधिकतम Newton iteration count से आशय इस पृष्ठ पर वर्णित Newton पुनरावृत्तियों की संख्या है। Automatic increment control कम iterations में converge हुए substep के बाद time increment बढ़ाता है और अधिक iterations लगे substep के बाद इसे घटाता है।

स्थैतिक विश्लेषण में संपर्क पुनरावृत्ति¶

संपर्क विश्लेषण में contact surfaces पर contact, separation और sliding के कारण iteration के दौरान contact state बदलती है, इसलिए Newton iteration को contact-state updates के साथ जोड़ा जाता है। संरचना contact-solution algorithm पर निर्भर करती है।

दोनों algorithms सबसे बाहरी स्तर पर contact-state search loop रखते हैं। इस loop के प्रत्येक pass में, आंतरिक Newton iteration के converge होने के बाद contact state (contact/separation) का पुनर्मूल्यांकन किया जाता है। यदि state बदल गई हो, तो stiffness matrix की संरचना अद्यतन की जाती है और आंतरिक iteration फिर चलती है। जब contact state पिछले pass से अपरिवर्तित हो और contact convergence criteria (contact-force और Lagrange-multiplier criteria) संतुष्ट हों, तब loop समाप्त होता है। passes की ऊपरी सीमा !STEP के MAXCONTITER से निर्दिष्ट की जाती है।

SLAGRANGE contact में contact degrees of freedom को मानक Lagrange multiplier method से linear system में सम्मिलित किया जाता है, जिससे दो-परत संरचना बनती है जिसमें Newton iteration सीधे contact-state search loop के भीतर होती है। इसमें augmented Lagrange iteration नहीं होती।

ALAGRANGE contact में contact-state search loop के भीतर augmented Lagrange iteration जोड़ी जाती है और उसके भीतर Newton iteration चलती है, जिससे तीन-परत संरचना बनती है। प्रत्येक augmented Lagrange iteration पर penalty term और Lagrange multiplier के संयोजन से contact constraint का पुनर्मूल्यांकन किया जाता है, जिससे constraint accuracy क्रमशः सुधरती है। augmented Lagrange iterations की ऊपरी सीमा !CONTACT_ALGO के AUGITER से निर्दिष्ट होती है।

contact iteration के नियंत्रण मान निम्न हैं।

भूमिका	कहाँ निर्दिष्ट
contact-state search-loop iterations की ऊपरी सीमा। `SLAGRANGE` और `ALAGRANGE` दोनों के लिए उपयोग।	`!STEP` `MAXCONTITER`
augmented Lagrange iterations की ऊपरी सीमा। केवल `ALAGRANGE` के लिए उपयोग।	`!CONTACT_ALGO` `AUGITER`
Lagrange multiplier के correction के लिए convergence criterion। contact वाले analyses में residual criterion के साथ उपयोग किया जाता है।	`!STEP` `CONVERG_LAG`

चरण नियंत्रण में automatic-increment decisions द्वारा संदर्भित contact iteration count से आशय इस पृष्ठ पर वर्णित iterations की संख्या है, जिसमें contact-state updates शामिल हैं। जिन analyses में contact और separation बार-बार होते हैं, उनमें अधिक contact iterations की आवश्यकता होती है, जो automatic-increment और cutback decisions को भी प्रभावित करती है। contact types, pair definitions और algorithm selection के लिए संपर्क और Embedding देखें। contact degrees of freedom वाले linear system को हल करने की विधि के लिए सॉल्वर और प्रीकंडीशनिंग देखें।

गतिशील विश्लेषण में समय एकीकरण (Implicit विधि)¶

गतिशील विश्लेषण की implicit विधि प्रत्येक time step पर अगले समय के displacement, velocity और acceleration के बीच संबंध स्थापित करने के लिए Newmark-β विधि का उपयोग करती है और इन संबंधों को गति समीकरण के साथ जोड़कर समय \(t + \Delta t\) की अवस्था प्राप्त करती है। time step \(\Delta t\) पर stability restriction हल्का है, जिससे low-frequency components द्वारा प्रमुख संरचनात्मक प्रतिक्रियाएँ कुशलतापूर्वक हल की जा सकती हैं।

निम्न दो time-integration parameters उपयोग किए जाते हैं।

पैरामीटर	भूमिका
\(\beta\)	displacement के time interpolation से संबंधित गुणांक।
\(\gamma\)	velocity के time interpolation से संबंधित गुणांक।

संयोजन \(\beta = 1/4\) और \(\gamma = 1/2\) को average acceleration method कहा जाता है और यह एक मानक विकल्प है जो बिना शर्त स्थिर है तथा numerical damping नहीं देता। numerical damping प्रस्तुत करने के लिए \(\gamma\) को \(1/2\) से बड़ा चुनें। parameter combinations, stability और error characteristics के गणितीय विवरण के लिए सिद्धांत मैनुअल देखें।

जब nonlinearity (ज्यामितीय nonlinearity, सामग्री nonlinearity या contact) शामिल हो, प्रत्येक time step के भीतर Newton iteration की जाती है; iteration के भीतर linear system हल होता है और state अद्यतन होती है। convergence criteria CONVERG और static analysis के साथ साझा संबंधित मानों का उपयोग करते हैं। contact सहित dynamic analysis में स्थैतिक विश्लेषण में संपर्क पुनरावृत्ति जैसी iterative structure प्रत्येक time step में सम्मिलित की जाती है।

dynamic analysis में time step मुख्य रूप से !STEP की time conditions द्वारा नियंत्रित होता है। fixed increments में !STEP DTIME को time step और ETIME को step duration के रूप में निर्दिष्ट करता है। !DYNAMIC के n_step और t_delta मान !STEP न होने पर तथा backward compatibility के लिए defaults माने जाते हैं। nonlinear implicit method में INC_TYPE=AUTO वाला !STEP automatic increments और cutback सक्षम करता है, जिससे Newton और contact iterations की स्थिति के अनुसार time step बढ़ता या घटता है। fixed या automatic increments में से कोई भी उपयोग हो, time step तय करते समय convergence और आवश्यक accuracy दोनों पर विचार करें।

गतिशील विश्लेषण में समय एकीकरण (Explicit विधि)¶

गतिशील विश्लेषण की explicit विधि central difference method का उपयोग करके केवल पिछले समय के displacement, velocity और acceleration की जानकारी से अगले समय की अवस्था सीधे गणना करती है। चूँकि simultaneous equations हल नहीं किए जाते, प्रति step गणना लागत कम होती है। nonlinearity शामिल होने पर भी प्रत्येक time step Newton iteration के बिना single-stage update होता है।

time step पर system के minimum natural period पर आधारित stability condition (CFL condition) द्वारा ऊपरी सीमा लगती है। इस सीमा से बड़ा time step numerical solution को diverge कर देता है, इसलिए implicit method की तरह बड़े time steps उपयोग नहीं किए जा सकते। impact, wave propagation और high-speed contact जैसी घटनाओं में, जहाँ स्वभावतः छोटे time steps आवश्यक होते हैं, explicit method लाभकारी है।

contact शामिल होने पर contact constraints लागू करने के लिए Forward Increment Lagrange method उपयोग होती है। contact forces का मूल्यांकन explicit method के single-stage update के अनुरूप किया जाता है।

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण की समाधान विधि¶

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण modal superposition method का उपयोग करके frequency domain में periodic steady-state response सीधे प्राप्त करता है। excitation frequency बदलते हुए response का मूल्यांकन किया जाता है और iterations के माध्यम से time history trace करने की आवश्यकता नहीं होती। न nonlinear iterations की जाती हैं और न time integration।

आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण से पहले उसी system के लिए modal analysis करना और आवश्यक संख्या में natural modes निकालना आवश्यक है। केवल linear models समर्थित हैं; geometric या material nonlinearity सक्षम होने पर यह विश्लेषण नहीं किया जा सकता। इस analysis type की स्थिति के लिए विश्लेषण प्रकार देखें।

अस्थिर ऊष्मा चालन में समय अग्रगमन और गैर-रेखीय पुनरावृत्ति¶

अस्थिर ऊष्मा चालन का अपना time loop !HEAT के भीतर पूरा होता है। time step को structural-analysis !STEP और !AUTOINC_PARAM से अलग पथ द्वारा नियंत्रित किया जाता है, और जब material properties तापमान पर निर्भर हों तो प्रत्येक time step के भीतर nonlinear iteration की जाती है।

time-integration scheme को !HEAT के \(\beta\) parameter से चुना जाता है।

\(\beta\)	योजना	विशेषताएँ
0.5	Crank-Nicolson विधि	द्वितीय-क्रम शुद्धता। smooth तापमान परिवर्तन वाली समस्याओं के लिए उपयुक्त।
1.0	Backward Euler विधि	प्रथम-क्रम शुद्धता। बिना शर्त स्थिर और दीर्घकालीन analyses तथा तीव्र तापमान परिवर्तनों के लिए स्थिरता प्रदान करती है।

time step को initial time step, minimum time step और प्रति step maximum temperature change को संयोजित करके adaptively नियंत्रित किया जाता है। यदि किसी time step की गणना के बाद तापमान परिवर्तन DELTMX से अधिक हो, तो time step घटाया जाता है और step की पुनर्गणना होती है। time step minimum time step DTMIN से नीचे जाने पर analysis abort हो जाता है।

जब material properties तापमान पर निर्भर हों, प्रत्येक time step के भीतर nonlinear iteration की जाती है। iteration निम्न प्रकार नियंत्रित होती है।

भूमिका	पैरामीटर
nonlinear iterations की ऊपरी सीमा।	`!HEAT` `ITMAX`
convergence criterion।	`!HEAT` `EPS`

steady heat conduction time stepping का उपयोग नहीं करता; केवल material properties तापमान पर निर्भर होने पर nonlinear iteration की जाती है। heat-conduction analysis का time control structural-analysis !STEP से स्वतंत्र है, इसलिए time step समायोजित करते समय !HEAT settings जाँचें।