Lewati ke isi

Iterasi Nonlinear dan Integrasi Waktu

FrontISTR memajukan solusi dengan menggabungkan iterasi nonlinear dan integrasi waktu pada setiap substep di dalam kendali inkremen tiap step. Halaman ini menjelaskan struktur iterasi yang berada di antara kendali step bagian luar dan solver linear bagian dalam: iterasi Newton-Raphson, iterasi kontak, integrasi waktu untuk analisis dinamik, serta kerangka kemajuan waktu dan iterasi nonlinear pada konduksi panas transien.

Gambaran Umum

Penyelesaian nonlinear dan integrasi waktu di dalam suatu step memiliki struktur tersarang yang terdiri atas beberapa loop dari luar ke dalam. Setiap lapisan memiliki peran berikut.

Lapisan Peran Halaman referensi utama
Loop step Membagi keseluruhan analisis menjadi beberapa step serta mengganti kondisi batas, beban, kontak, dan aktivasi elemen. Kendali Step
Loop substep Membagi satu step menjadi inkremen waktu dan memajukan solusi dengan inkremen tetap atau inkremen otomatis dan cutback. Kendali Step
Pemajuan keadaan melalui integrasi waktu Pada analisis dinamik dan konduksi panas transien, memperoleh keadaan pada waktu berikutnya dari keadaan step sebelumnya. Halaman ini
Loop pencarian keadaan kontak Pada analisis kontak, mencari perubahan keadaan kontak (kontak/terpisah) dan memperbarui struktur matriks kekakuan. Halaman ini
Iterasi luar augmented Lagrange Pada kontak ALAGRANGE, secara bertahap meningkatkan akurasi kendala kontak. Halaman ini
Iterasi Newton Menyelesaikan persamaan kesetimbangan nonlinear secara iteratif dengan metode Newton-Raphson. Halaman ini
Penyelesaian sistem linear Menyelesaikan sistem linear berdasarkan matriks kekakuan tangen pada setiap iterasi Newton. Solver dan Prapengkondisian

Lapisan yang muncul bergantung pada jenis analisis.

Jenis analisis Integrasi waktu Pencarian keadaan kontak Iterasi luar Iterasi Newton
Analisis statik linear — — — —
Analisis statik nonlinear (tanpa kontak) — — — Ya
Analisis statik nonlinear (kontak SLAGRANGE) — Ya — Ya
Analisis statik nonlinear (kontak ALAGRANGE) — Ya Ya Ya
Analisis dinamik, implisit Newmark-β — — Ya (bila nonlinear)
Analisis dinamik, eksplisit Beda pusat — — —
Analisis respons frekuensi Superposisi modal — — —
Konduksi panas transien Crank-Nicolson / Backward Euler — — Ya (bila sifat material bergantung pada temperatur)
Konduksi panas tunak — — — Ya (bila sifat material bergantung pada temperatur)

Untuk cara memilih tipe kontak dan algoritmenya, lihat Kontak dan Embedding. Halaman ini menjelaskan bagaimana algoritme yang dipilih disusun sebagai loop iteratif.

Memilih Skema Penyelesaian

Struktur iteratif ditentukan secara otomatis dari jenis analisis yang dipilih (Jenis Analisis), ada atau tidaknya nonlinieritas (nonlinieritas geometri, nonlinieritas material, atau kontak), dan algoritme kontak (SLAGRANGE atau ALAGRANGE). Pengguna secara langsung menyesuaikan batas atas jumlah iterasi dan kriteria konvergensi.

Pedoman berikut berlaku saat menyetel pengaturan ini.

  • Untuk analisis standar, batas atas default jumlah iterasi umumnya memadai. Jika masalah yang sulit konvergen mencapai jumlah iterasi maksimum tanpa konvergensi, gunakan cutback terlebih dahulu (Kendali Step); naikkan batas atas hanya jika hal ini tidak memperbaiki konvergensi.
  • Sesuaikan kriteria konvergensi untuk menyeimbangkan kestabilan analisis dan waktu komputasi. Kriteria yang lebih ketat meningkatkan akurasi kesetimbangan tetapi menambah jumlah iterasi. Pada analisis kontak dan analisis yang melibatkan pengali Lagrange, menggabungkan kriteria inkremen perpindahan atau kriteria Lagrange dengan kriteria residual dapat meningkatkan kestabilan.
  • Untuk parameter integrasi waktu pada analisis dinamik (koefisien Newmark-β), mulai dengan kombinasi nilai standar dan sesuaikan ketika mengubah karakteristik redaman numerik respons getaran.
  • Untuk skema integrasi waktu pada konduksi panas transien, gunakan Crank-Nicolson untuk masalah dengan perubahan temperatur yang halus, dan Backward Euler ketika perubahan tajam atau kestabilan jangka panjang lebih penting.

Iterasi Newton-Raphson pada Analisis Statik

Pada analisis statik nonlinear, persamaan kesetimbangan yang mengandung nonlinieritas geometri atau material diselesaikan secara iteratif dengan metode Newton-Raphson. Setiap iterasi berlangsung sebagai berikut.

  1. Evaluasi vektor residual \(\boldsymbol{R}\) pada solusi saat ini.
  2. Rakit matriks kekakuan tangen \(\boldsymbol{K}_T\).
  3. Selesaikan sistem linear \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) untuk memperoleh koreksi perpindahan \(\Delta \boldsymbol{u}\).
  4. Perbarui solusi sebagai \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
  5. Bandingkan dengan kriteria konvergensi. Jika konvergensi tercapai, akhiri iterasi; jika tidak, kembali ke langkah 1.

Solver linear melakukan penyelesaian sistem linear (langkah 3). Untuk pemilihan solver dan prapengkondisi, lihat Solver dan Prapengkondisian.

Iterasi dikendalikan menggunakan parameter kendali step dari !STEP. Nilai kendali utama adalah sebagai berikut.

Peran Parameter
Batas atas jumlah iterasi. Jika batas tercapai tanpa konvergensi, substep dikenai cutback. MAXITER
Kriteria konvergensi berdasarkan norma residual relatif. CONVERG
Kriteria konvergensi berdasarkan rasio norma koreksi perpindahan. Digunakan bersama kriteria residual untuk meningkatkan kestabilan. CONVERG_DDISP
Kriteria divergensi untuk norma residual. Iterasi dihentikan ketika nilai ini terlampaui. MAXRES

Jumlah maksimum iterasi Newton yang dirujuk oleh keputusan inkremen otomatis dan cutback pada Kendali Step berarti jumlah iterasi Newton yang dijelaskan pada halaman ini. Kendali inkremen otomatis memperbesar inkremen waktu setelah substep yang konvergen dalam sedikit iterasi dan memperkecilnya setelah substep yang memerlukan banyak iterasi.

Iterasi Kontak pada Analisis Statik

Pada analisis kontak, keadaan kontak berubah selama iterasi akibat kontak, pemisahan, dan sliding pada permukaan kontak, sehingga iterasi Newton digabungkan dengan pembaruan keadaan kontak. Strukturnya bergantung pada algoritme penyelesaian kontak.

Kedua algoritme menempatkan loop pencarian keadaan kontak pada lapisan terluar. Pada setiap lintasan loop ini, keadaan kontak (kontak/terpisah) dievaluasi ulang setelah iterasi Newton bagian dalam konvergen. Jika keadaan berubah, struktur matriks kekakuan diperbarui dan iterasi bagian dalam dijalankan kembali. Loop berakhir ketika keadaan kontak tidak berubah dari lintasan sebelumnya dan kriteria konvergensi kontak (kriteria gaya kontak dan pengali Lagrange) terpenuhi. Batas atas jumlah lintasan ditentukan oleh MAXCONTITER dari !STEP.

Pada kontak SLAGRANGE, derajat kebebasan kontak dimasukkan ke sistem linear dengan metode pengali Lagrange standar, menghasilkan struktur dua lapis dengan iterasi Newton ditempatkan langsung di dalam loop pencarian keadaan kontak. Tidak ada iterasi augmented Lagrange.

Pada kontak ALAGRANGE, iterasi augmented Lagrange ditambahkan di dalam loop pencarian keadaan kontak, dan iterasi Newton dilakukan di dalamnya, sehingga membentuk struktur tiga lapis. Pada setiap iterasi augmented Lagrange, kendala kontak dievaluasi ulang menggunakan kombinasi suku penalti dan pengali Lagrange, sehingga akurasi kendala meningkat secara bertahap. Batas atas jumlah iterasi augmented Lagrange ditentukan oleh AUGITER dari !CONTACT_ALGO.

Nilai kendali untuk iterasi kontak adalah sebagai berikut.

Peran Ditentukan dalam
Batas atas jumlah iterasi loop pencarian keadaan kontak. Digunakan untuk SLAGRANGE dan ALAGRANGE. !STEP MAXCONTITER
Batas atas jumlah iterasi augmented Lagrange. Hanya digunakan untuk ALAGRANGE. !CONTACT_ALGO AUGITER
Kriteria konvergensi untuk koreksi pengali Lagrange. Digunakan bersama kriteria residual dalam analisis dengan kontak. !STEP CONVERG_LAG

Jumlah iterasi kontak yang dirujuk oleh keputusan inkremen otomatis pada Kendali Step berarti jumlah iterasi yang dijelaskan pada halaman ini, termasuk pembaruan keadaan kontak. Analisis dengan kontak dan pemisahan yang sering cenderung memerlukan lebih banyak iterasi kontak, yang juga memengaruhi keputusan inkremen otomatis dan cutback. Untuk tipe kontak, definisi pasangan, dan pemilihan algoritme, lihat Kontak dan Embedding. Untuk cara menyelesaikan sistem linear yang mengandung derajat kebebasan kontak, lihat Solver dan Prapengkondisian.

Integrasi Waktu pada Analisis Dinamik (Metode Implisit)

Metode implisit untuk analisis dinamik menggunakan metode Newmark-β untuk menghubungkan perpindahan, kecepatan, dan percepatan pada waktu berikutnya di setiap step waktu, lalu menggabungkan hubungan ini dengan persamaan gerak untuk memperoleh keadaan pada waktu \(t + \Delta t\). Batasan kestabilan terhadap step waktu \(\Delta t\) relatif longgar, sehingga respons struktur yang didominasi komponen frekuensi rendah dapat diselesaikan secara efisien.

Dua parameter integrasi waktu berikut digunakan.

Parameter Peran
\(\beta\) Koefisien yang berkaitan dengan interpolasi waktu perpindahan.
\(\gamma\) Koefisien yang berkaitan dengan interpolasi waktu kecepatan.

Kombinasi \(\beta = 1/4\) dan \(\gamma = 1/2\) disebut metode percepatan rata-rata dan merupakan pilihan standar yang stabil tanpa syarat serta tidak memiliki redaman numerik. Untuk memasukkan redaman numerik, pilih \(\gamma\) lebih besar dari \(1/2\). Untuk rincian matematis tentang kombinasi parameter, kestabilan, dan karakteristik galat, lihat manual teori.

Ketika nonlinieritas (nonlinieritas geometri, nonlinieritas material, atau kontak) disertakan, iterasi Newton dilakukan di dalam setiap step waktu; sistem linear diselesaikan di dalam iterasi dan keadaan diperbarui. Kriteria konvergensi menggunakan CONVERG dan nilai terkait yang sama dengan analisis statik. Pada analisis dinamik dengan kontak, struktur iteratif yang sama seperti Iterasi Kontak pada Analisis Statik dimasukkan ke setiap step waktu.

Step waktu dalam analisis dinamik terutama dikendalikan oleh kondisi waktu dari !STEP. Dengan inkremen tetap, !STEP menentukan DTIME sebagai step waktu dan ETIME sebagai durasi step. Nilai n_step dan t_delta dari !DYNAMIC diperlakukan sebagai default ketika !STEP dihilangkan dan untuk kompatibilitas ke belakang. Pada metode implisit nonlinear, !STEP dengan INC_TYPE=AUTO mengaktifkan inkremen otomatis dan cutback, dengan memperbesar atau memperkecil step waktu sesuai keadaan iterasi Newton dan kontak. Baik inkremen tetap maupun otomatis yang digunakan, tetapkan step waktu dengan mempertimbangkan konvergensi dan akurasi yang diperlukan.

Integrasi Waktu pada Analisis Dinamik (Metode Eksplisit)

Metode eksplisit untuk analisis dinamik menggunakan metode beda pusat untuk menghitung keadaan pada waktu berikutnya secara langsung hanya dari informasi perpindahan, kecepatan, dan percepatan pada waktu sebelumnya. Karena tidak ada persamaan simultan yang diselesaikan, biaya komputasi per step rendah. Bahkan ketika nonlinieritas disertakan, setiap step waktu merupakan pembaruan satu tahap tanpa iterasi Newton.

Step waktu memiliki batas atas yang ditentukan oleh kondisi kestabilan berdasarkan periode alami minimum sistem (kondisi CFL). Step waktu yang melebihi batas ini menyebabkan solusi numerik divergen, sehingga step waktu besar seperti yang dimungkinkan oleh metode implisit tidak dapat digunakan. Metode eksplisit menguntungkan untuk fenomena seperti tumbukan, perambatan gelombang, dan kontak berkecepatan tinggi, yang secara inheren memerlukan step waktu kecil.

Ketika kontak disertakan, metode Forward Increment Lagrange digunakan untuk memberlakukan kendala kontak. Gaya kontak dievaluasi secara konsisten dengan pembaruan satu tahap metode eksplisit.

Metode Penyelesaian untuk Analisis Respons Frekuensi

Analisis respons frekuensi memperoleh secara langsung respons keadaan tunak periodik dalam domain frekuensi menggunakan metode superposisi modal. Respons dievaluasi sambil memvariasikan frekuensi eksitasi dan tidak perlu menelusuri riwayat waktu melalui iterasi. Tidak dilakukan iterasi nonlinear maupun integrasi waktu.

Sebelum analisis respons frekuensi dapat dilakukan, analisis modal harus dijalankan untuk sistem yang sama dan jumlah mode alami yang diperlukan harus diekstraksi. Hanya model linear yang didukung; analisis tidak dapat dilakukan ketika nonlinieritas geometri atau material diaktifkan. Untuk posisi jenis analisis ini, lihat Jenis Analisis.

Pemajuan Waktu dan Iterasi Nonlinear pada Konduksi Panas Transien

Konduksi panas transien memiliki loop waktunya sendiri yang diselesaikan di dalam !HEAT. Step waktu dikendalikan melalui jalur terpisah dari !STEP dan !AUTOINC_PARAM analisis struktur, dan ketika sifat material bergantung pada temperatur, iterasi nonlinear dilakukan di dalam setiap step waktu.

Skema integrasi waktu dipilih dengan parameter \(\beta\) dari !HEAT.

\(\beta\) Skema Karakteristik
0.5 Metode Crank-Nicolson Akurasi orde kedua. Cocok untuk masalah dengan perubahan temperatur yang halus.
1.0 Metode Backward Euler Akurasi orde pertama. Stabil tanpa syarat dan memberikan kestabilan untuk analisis berdurasi panjang serta perubahan temperatur yang tajam.

Step waktu dikendalikan secara adaptif dengan menggabungkan step waktu awal, step waktu minimum, dan perubahan temperatur maksimum per step. Jika perubahan temperatur melebihi DELTMX setelah perhitungan pada suatu step waktu, step waktu diperkecil dan step dihitung ulang. Analisis dihentikan jika step waktu turun di bawah step waktu minimum DTMIN.

Ketika sifat material bergantung pada temperatur, iterasi nonlinear dilakukan di dalam setiap step waktu. Iterasi dikendalikan sebagai berikut.

Peran Parameter
Batas atas iterasi nonlinear. !HEAT ITMAX
Kriteria konvergensi. !HEAT EPS

Konduksi panas tunak tidak menggunakan stepping waktu; hanya iterasi nonlinear yang dilakukan ketika sifat material bergantung pada temperatur. Karena kendali waktu untuk analisis konduksi panas independen dari !STEP analisis struktur, periksa pengaturan !HEAT ketika menyesuaikan step waktu.

Topik Terkait