Lewati ke isi

Analisis Respons Frekuensi

Formulasi Masalah

Analisis respons frekuensi mengevaluasi amplitudo dan fase respons keadaan tunak suatu sistem dalam domain frekuensi ketika gaya luar berubah secara harmonik terhadap waktu. Karena persamaan gerak yang mengatur diperlakukan secara berbeda dengan dan tanpa redaman, bab ini terlebih dahulu menurunkan mode eigen dari getaran bebas tanpa redaman, lalu menggunakannya sebagai basis modal untuk mengembangkan respons harmonik dengan redaman.

Getaran Bebas Tanpa Redaman dan Mode Eigen

Jika redaman diabaikan, persamaan geraknya adalah

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Dengan mengembangkan perpindahan pada setiap mode eigen diperoleh

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Substitusi ke dalam Pers.\(\eqref{eq:2.6.1}\) memberikan

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Ini merupakan masalah nilai eigen tergeneralisasi. Metode penyelesaian numeriknya, termasuk iterasi invers bergeser dan metode Lanczos, dibahas dalam Analisis Modal. Bagian ini merangkum sifat frekuensi alami dan mode eigen yang dihasilkan, yang digunakan dalam pengembangan respons harmonik berikutnya.

Kenyataan Frekuensi Alami

Frekuensi alami dapat ditunjukkan bernilai riil sebagai berikut. Misalkan \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Dengan mengambil konjugat kompleks Pers.\(\eqref{eq:2.6.3}\), diperoleh Pers.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Mengalikan dengan \(\overline{U}_J^T\) memberikan

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Dari Pers.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Karena matriks massa simetris definit positif, untuk vektor eigen tak nol berlaku

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Oleh karena itu,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Dengan demikian, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) bernilai riil.

Ortogonalitas dan Normalisasi Mode Eigen

Pertimbangkan dua mode yang berbeda.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Maka diperoleh

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

dan, jika nilai eigennya berbeda,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Dengan demikian, mode eigen yang berbeda saling ortogonal terhadap matriks massa. Untuk mode yang sama, normalisasi terhadap matriks massa seperti pada Pers.\(\eqref{eq:2.6.12}\) menyederhanakan pembahasan selanjutnya.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Respons Harmonik dengan Redaman

Selanjutnya disajikan formulasi analisis respons frekuensi dengan redaman. Persamaan gerak yang mengatur diberikan oleh Pers.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Suku redaman diasumsikan bertipe Rayleigh dan dinyatakan sebagai Pers.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Dengan menggunakan vektor eigen yang diperoleh dari analisis modal, vektor perpindahan pada waktu t dapat dikembangkan seperti pada Pers.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Misalkan suku gaya luar berbentuk harmonik

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Selanjutnya kita tentukan \(b_{j}(t)\). Karena persamaan gerak pada Pers.\(\eqref{eq:2.6.13}\) berbentuk getaran paksa,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

berlaku. Bagian riil dan imajiner dari koefisien pengembangan \(b_{j}(t)\) masing-masing diberikan oleh Pers.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) dan \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Dengan demikian diperoleh koefisien respons harmonik yang diinginkan.

Topik Terkait