Analisis Modal - FrontISTR Documentation

Masalah Nilai Eigen Tergeneralisasi¶

Untuk analisis getaran bebas suatu kontinuum, domain didiskretisasi secara spasial dan dimodelkan sebagai sistem multi-derajat-kebebasan dengan massa terpusat, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.1. Untuk masalah getaran bebas tanpa redaman, persamaan pengatur (persamaan gerak) adalah sebagai berikut.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Di sini, $u$ adalah vektor perpindahan tergeneralisasi, $M$ adalah matriks massa, dan $K$ adalah matriks kekakuan. Misalkan frekuensi sudut alami adalah $\omega$, misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta sembarang, dan misalkan $x$ adalah sebuah vektor. Definisikan fungsi

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Turunan kedua dari ekspresi ini adalah

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Dengan mensubstitusikan ekspresi tersebut ke Persamaan $\eqref{eq:2.3.1}$, diperoleh

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

yaitu,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

diperoleh.

Dengan demikian, jika Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$ dipenuhi oleh koefisien $\lambda = \omega^2$ dan vektor $x$ dapat ditemukan, fungsi $u(t)$ merupakan solusi Persamaan $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koefisien $\lambda$ disebut nilai eigen dan vektor $x$ disebut vektor eigen. Masalah untuk menentukannya dari Persamaan $\eqref{eq:2.3.1}$ disebut masalah nilai eigen tergeneralisasi.

Contoh sistem multi-derajat-kebebasan dalam getaran bebas tanpa redaman

Gambar 2.3.1 Contoh sistem multi-derajat-kebebasan dalam getaran bebas tanpa redaman

Sifat dan Asumsi Matriks¶

Untuk masalah nilai eigen tergeneralisasi $K x = \lambda M x$ yang diperoleh pada bagian sebelumnya, manual ini mengasumsikan sifat matriks berikut. Asumsi ini menjadi dasar konvergensi dan rentang penerapan metode iterasi invers bergeser dan Lanczos yang dijelaskan di bawah. Untuk matriks kompleks, transposnya merupakan konjugat kompleks, sedangkan matriks real bersifat simetris. Secara khusus, untuk matriks $K$, jika komponen $ij$-nya adalah $k_{ij}$, dan konjugat kompleks dari $k$ dinyatakan dengan $\bar{k}$, maka

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

berlaku hubungan berikut.

Dalam manual ini, matriks diasumsikan simetris dan definit positif. Definit positif berarti semua nilai eigen bernilai positif; secara ekuivalen, matriks selalu memenuhi Persamaan $\eqref{eq:2.3.7}$ di bawah.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Iterasi Invers Bergeser¶

Dalam analisis struktur dengan metode elemen hingga, pada praktiknya umumnya tidak diperlukan semua nilai eigen; dalam banyak kasus, hanya beberapa nilai eigen orde rendah yang diperlukan. HEC-MW ditujukan untuk masalah berskala besar, dengan matriks yang besar dan sangat jarang (mengandung banyak entri nol). Karena itu, penting untuk menghitung nilai eigen mode orde rendah secara efisien dengan mempertimbangkan sifat ini.

Misalkan $\sigma$ adalah batas bawah nilai eigen. Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$ kemudian dapat ditransformasikan ke bentuk berikut yang secara matematis ekuivalen.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Transformasi ini memiliki sifat berikut yang berguna untuk komputasi.

Urutan mode dibalik.
Nilai eigen di dekat $\rho$ dipetakan ke nilai terbesar.

Dalam komputasi aktual, nilai eigen terbesar sering diperoleh terlebih dahulu. Oleh karena itu, alih-alih Persamaan $\eqref{eq:2.3.5}$, perhitungan konvergensi utama diterapkan pada Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$, dengan tujuan memperoleh nilai eigen di dekat $\rho$ terlebih dahulu. Teknik ini disebut iterasi invers bergeser.

Metode Lanczos¶

Alasan Penggunaan (Perbandingan dengan Metode Jacobi)¶

Di antara metode klasik, metode Jacobi dikenal luas.

Metode ini efektif ketika matriks berukuran kecil dan padat. Namun, karena matriks yang ditangani HEC-MW berukuran besar dan jarang, metode Jacobi tidak digunakan; sebagai gantinya digunakan metode Lanczos iteratif.

Algoritme dan Karakteristik¶

Diusulkan oleh C. Lanczos pada tahun 1950-an, metode ini merupakan algoritme untuk mereduksi matriks ke bentuk tridiagonal dan memiliki karakteristik berikut.

Merupakan metode konvergen iteratif dan dapat berjalan sambil mempertahankan matriks tetap jarang.
Algoritmenya terutama terdiri atas perkalian matriks-vektor dan sangat sesuai untuk paralelisasi.
Sangat sesuai untuk dekomposisi domain geometris yang terkait dengan mesh elemen hingga.
Komputasi efisien dimungkinkan dengan membatasi jumlah nilai eigen dan rentang mode yang akan diperoleh.

Metode Lanczos dimulai dari sebuah vektor awal, secara berturut-turut menghasilkan vektor-vektor ortogonal, dan membangun basis untuk suatu subruang. Metode ini dikatakan lebih cepat daripada metode subruang, yang juga merupakan metode iteratif, dan digunakan secara luas dalam program elemen hingga. Namun, metode ini sensitif terhadap galat numerik, yang dapat merusak ortogonalitas vektor dan dapat menyebabkan komputasi gagal. Karena itu, penanganan terhadap galat numerik tersebut sangat penting.

Interpretasi Geometris (Subruang Krylov)¶

Dengan memperkenalkan perubahan variabel berikut pada Persamaan $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

masalah dapat ditulis ulang menjadi

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

diperoleh.

Untuk vektor yang sesuai $q_0$, terapkan transformasi linear yang direpresentasikan oleh matriks $A$ (lihat Gambar 2.3.2).

$Transformasi linear oleh matriks $A$ terhadap $q_0$$

Gambar 2.3.2 Transformasi linear oleh matriks $A$ terhadap $q_0$

Vektor hasil transformasi diortogonalisasi di dalam ruang yang direntang bersama vektor semula. Dengan kata lain, ortogonalisasi Gram-Schmidt dilakukan seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3.2. Misalkan vektor yang dihasilkan adalah $r_1$. Normalisasikan hingga panjang satuan untuk memperoleh $q_1$ (Gambar 2.3.3). Dari $q_1$, peroleh $q_2$ dengan prosedur yang sama. Pada titik ini, $q_2$ ortogonal terhadap $q_1$ maupun $q_0$ (Gambar 2.3.4). Dengan melanjutkan perhitungan yang sama, diperoleh vektor-vektor yang saling ortogonal hingga orde matriks.

$Vektor yang ortogonal terhadap $q_0$: $q_1$$

Gambar 2.3.3 Vektor yang ortogonal terhadap $q_0$: $q_1$

$Vektor yang ortogonal terhadap $q_1$ dan $q_0$: $q_2$$

Gambar 2.3.4 Vektor yang ortogonal terhadap $q_1$ dan $q_0$: $q_2$

Secara khusus, algoritme Lanczos diterapkan pada deret vektor $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

atau secara ekuivalen $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

melalui ortogonalisasi Gram-Schmidt. Deret vektor ini disebut deret Krylov, dan ruang yang direntangnya disebut subruang Krylov. Ketika ortogonalisasi Gram-Schmidt dilakukan dalam ruang ini, setiap vektor baru dapat diperoleh dengan menggunakan dua vektor terbaru. Ini disebut prinsip Lanczos.

Tridiagonalisasi¶

Dalam iterasi di atas, perhitungan untuk vektor ke-(i+1) dapat ditulis sebagai

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

dengan

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Dengan menggunakan notasi matriks, bentuknya menjadi

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

dengan

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Dengan demikian, nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks tridiagonal yang diperoleh dari Persamaan $\eqref{eq:2.3.13}$.

Topik Terkait¶

Analisis Respons Frekuensi — Respons frekuensi menggunakan hasil analisis modal
Jenis Analisis — Gambaran umum fungsi analisis modal