Análisis modal - FrontISTR Documentation

Problema generalizado de valores propios¶

Para el análisis de vibraciones libres de un medio continuo, el dominio se discretiza espacialmente y se modela como un sistema de masas concentradas con múltiples grados de libertad, como se muestra en la Figura 2.3.1. Para un problema de vibración libre no amortiguada, la ecuación gobernante (ecuación de movimiento) es la siguiente.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aquí, $u$ es el vector de desplazamientos generalizados, $M$ es la matriz de masa y $K$ es la matriz de rigidez. Sea $\omega$ la frecuencia angular natural, sean $a$, $b$ y $c$ constantes arbitrarias, y sea $x$ un vector. Defínase la función

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

La segunda derivada de esta expresión es

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Al sustituir estas expresiones en la ecuación $\eqref{eq:2.3.1}$ se obtiene

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Es decir,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

se obtiene.

Por tanto, si la ecuación $\eqref{eq:2.3.5}$ se satisface con el coeficiente $\lambda = \omega^2$ y puede encontrarse el vector $x$, la función $u(t)$ es una solución de la ecuación $\eqref{eq:2.3.1}$.

El coeficiente $\lambda$ se denomina valor propio y el vector $x$, vector propio. El problema de determinarlos a partir de la ecuación $\eqref{eq:2.3.1}$ se denomina problema generalizado de valores propios.

Ejemplo de un sistema con múltiples grados de libertad en vibración libre no amortiguada

Figura 2.3.1 Ejemplo de un sistema con múltiples grados de libertad en vibración libre no amortiguada

Propiedades y supuestos de las matrices¶

Para el problema generalizado de valores propios $K x = \lambda M x$ obtenido en la sección anterior, este manual supone las siguientes propiedades de las matrices. Estos supuestos constituyen la base de la convergencia y del ámbito de aplicabilidad de los métodos de iteración inversa con desplazamiento y de Lanczos descritos a continuación. Para una matriz compleja, la traspuesta es la conjugada compleja, mientras que una matriz real es simétrica. En concreto, para la matriz $K$, si su componente $ij$ es $k_{ij}$ y el conjugado complejo de $k$ se denota por $\bar{k}$, entonces

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

se cumple la siguiente relación.

En este manual se supone que las matrices son simétricas y definidas positivas. Que una matriz sea definida positiva significa que todos sus valores propios son positivos; equivalentemente, la matriz satisface siempre la ecuación $\eqref{eq:2.3.7}$ que se muestra a continuación.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Iteración inversa con desplazamiento¶

En el análisis estructural por elementos finitos, en la práctica normalmente no son necesarios todos los valores propios; en muchos casos basta con unos pocos valores propios de orden bajo. HEC-MW está concebido para problemas de gran escala, en los que las matrices son grandes y muy dispersas (contienen muchos elementos nulos). Por tanto, es importante calcular de forma eficiente los valores propios de los modos de orden bajo teniendo en cuenta esta propiedad.

Sea $\sigma$ el límite inferior de los valores propios. La ecuación $\eqref{eq:2.3.5}$ puede transformarse entonces en la siguiente forma matemáticamente equivalente.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Esta transformación presenta las siguientes propiedades útiles para el cálculo.

Se invierte el orden de los modos.
Los valores propios próximos a $\rho$ se transforman en los valores más grandes.

En el cálculo real, a menudo se obtienen primero los valores propios más grandes. Por ello, en lugar de aplicar el cálculo principal de convergencia a la ecuación $\eqref{eq:2.3.5}$, se aplica a la ecuación $\eqref{eq:2.3.8}$, con el objetivo de obtener primero los valores propios próximos a $\rho$. Esta técnica se denomina iteración inversa con desplazamiento.

Método de Lanczos¶

Motivo de su uso (comparación con el método de Jacobi)¶

Entre los métodos clásicos, el método de Jacobi es bien conocido.

Este método es eficaz cuando la matriz es pequeña y densa. Sin embargo, como las matrices tratadas por HEC-MW son grandes y dispersas, no se utiliza el método de Jacobi; en su lugar se emplea el método iterativo de Lanczos.

Algoritmo y características¶

Propuesto por C. Lanczos en la década de 1950, este método es un algoritmo para reducir una matriz a forma tridiagonal y presenta las siguientes características.

Es un método iterativo convergente y permite realizar el cálculo manteniendo la matriz dispersa.
El algoritmo consiste principalmente en productos matriz-vector y es muy adecuado para la paralelización.
Se adapta bien a la descomposición geométrica de dominios asociada a mallas de elementos finitos.
Es posible realizar un cálculo eficiente limitando el número de valores propios y el intervalo de modos que se desea obtener.

El método de Lanczos parte de un vector inicial, genera sucesivamente vectores ortogonales y construye una base para un subespacio. Se considera más rápido que el método de subespacios, otro método iterativo, y se utiliza ampliamente en programas de elementos finitos. Sin embargo, este método es sensible a los errores numéricos, que pueden destruir la ortogonalidad de los vectores y provocar que el cálculo falle. Por ello, son esenciales las medidas para contrarrestar estos errores numéricos.

Interpretación geométrica (subespacio de Krylov)¶

Introduciendo el siguiente cambio de variables en la ecuación $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

el problema puede reescribirse como

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

se obtiene.

Para un vector adecuado $q_0$, aplíquese la transformación lineal representada por la matriz $A$ (véase la Figura 2.3.2).

$Transformación lineal de $q_0$ mediante la matriz $A$$

Figura 2.3.2 Transformación lineal de $q_0$ mediante la matriz $A$

El vector transformado se ortogonaliza dentro del espacio generado junto con el vector original. Es decir, se realiza la ortogonalización de Gram-Schmidt como se ilustra en la Figura 2.3.2. Sea $r_1$ el vector resultante. Normalícese a longitud unitaria para obtener $q_1$ (Figura 2.3.3). A partir de $q_1$, obténgase $q_2$ mediante el mismo procedimiento. En este punto, $q_2$ es ortogonal tanto a $q_1$ como a $q_0$ (Figura 2.3.4). Al continuar el mismo cálculo se obtienen vectores mutuamente ortogonales hasta alcanzar el orden de la matriz.

$Un vector ortogonal a $q_0$: $q_1$$

Figura 2.3.3 Un vector ortogonal a $q_0$: $q_1$

$Un vector ortogonal a $q_1$ y $q_0$: $q_2$$

Figura 2.3.4 Un vector ortogonal a $q_1$ y $q_0$: $q_2$

En particular, el algoritmo de Lanczos se aplica a la secuencia de vectores $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

o, equivalentemente, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

mediante ortogonalización de Gram-Schmidt. Esta secuencia de vectores se denomina secuencia de Krylov y el espacio que genera se denomina subespacio de Krylov. Cuando se realiza la ortogonalización de Gram-Schmidt en este espacio, cada nuevo vector puede obtenerse utilizando los dos vectores más recientes. Esto se denomina principio de Lanczos.

Tridiagonalización¶

En la iteración anterior, el cálculo del vector (i+1)-ésimo puede escribirse como

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

donde

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Utilizando notación matricial, se obtiene

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

donde

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Por tanto, los valores propios se obtienen resolviendo el problema de valores propios de la matriz tridiagonal obtenida a partir de la ecuación $\eqref{eq:2.3.13}$.

Temas relacionados¶

Análisis de respuesta en frecuencia — Respuesta en frecuencia utilizando resultados del análisis modal
Tipos de análisis — Descripción funcional del análisis modal