Análise modal - FrontISTR Documentation

Problema generalizado de autovalores¶

Para a análise de vibração livre de um contínuo, o domínio é discretizado espacialmente e modelado como um sistema de massas concentradas com múltiplos graus de liberdade, conforme mostrado na Figura 2.3.1. Para um problema de vibração livre sem amortecimento, a equação governante (equação de movimento) é a seguinte.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aqui, $u$ é o vetor de deslocamentos generalizados, $M$ é a matriz de massa e $K$ é a matriz de rigidez. Seja a frequência angular natural $\omega$, sejam $a$, $b$ e $c$ constantes arbitrárias, e seja $x$ um vetor. Define-se a função

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

A segunda derivada dessa expressão é

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Substituindo essas expressões na Equação $\eqref{eq:2.3.1}$, obtém-se

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Isto é,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

é obtida.

Assim, se a Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ for satisfeita pelo coeficiente $\lambda = \omega^2$ e for possível determinar o vetor $x$, a função $u(t)$ será uma solução da Equação $\eqref{eq:2.3.1}$.

O coeficiente $\lambda$ é chamado de autovalor, e o vetor $x$, de autovetor. O problema de determiná-los a partir da Equação $\eqref{eq:2.3.1}$ é chamado de problema generalizado de autovalores.

Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade em vibração livre sem amortecimento

Figura 2.3.1 Exemplo de sistema com múltiplos graus de liberdade em vibração livre sem amortecimento

Propriedades e hipóteses das matrizes¶

Para o problema generalizado de autovalores $K x = \lambda M x$ obtido na seção anterior, este manual adota as seguintes propriedades das matrizes. Essas hipóteses fundamentam a convergência e o intervalo de aplicabilidade dos métodos de iteração inversa com deslocamento e de Lanczos descritos a seguir. Para uma matriz complexa, a transposta corresponde ao conjugado complexo, enquanto uma matriz real é simétrica. Especificamente, para a matriz $K$, se seu componente $ij$ for $k_{ij}$, e o conjugado complexo de $k$ for denotado por $\bar{k}$, então

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

vale a seguinte relação.

Neste manual, assume-se que as matrizes são simétricas e definidas positivas. Definida positiva significa que todos os autovalores são positivos; de forma equivalente, a matriz sempre satisfaz a Equação $\eqref{eq:2.3.7}$ abaixo.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Iteração inversa com deslocamento¶

Na análise estrutural pelo método dos elementos finitos, em geral não é necessário obter todos os autovalores; em muitos casos, bastam alguns autovalores de baixa ordem. O HEC-MW destina-se a problemas de grande escala, nos quais as matrizes são grandes e muito esparsas (contêm muitos elementos nulos). Portanto, é importante calcular com eficiência os autovalores dos modos de baixa ordem levando essa característica em consideração.

Seja $\sigma$ o limite inferior dos autovalores. A Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ pode então ser transformada na forma matematicamente equivalente a seguir.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Essa transformação apresenta as seguintes propriedades úteis para o cálculo.

A ordem dos modos é invertida.
Os autovalores próximos de $\rho$ são mapeados para os maiores valores.

No cálculo real, os maiores autovalores costumam ser obtidos primeiro. Portanto, em vez da Equação $\eqref{eq:2.3.5}$, o cálculo principal de convergência é aplicado à Equação $\eqref{eq:2.3.8}$, com o objetivo de obter primeiro os autovalores próximos de $\rho$. Essa técnica é chamada de iteração inversa com deslocamento.

Método de Lanczos¶

Motivação para o uso (comparação com o método de Jacobi)¶

Entre os métodos clássicos, o método de Jacobi é bastante conhecido.

Esse método é eficaz quando a matriz é pequena e densa. Entretanto, como as matrizes tratadas pelo HEC-MW são grandes e esparsas, o método de Jacobi não é utilizado; em seu lugar, emprega-se o método iterativo de Lanczos.

Algoritmo e características¶

Proposto por C. Lanczos na década de 1950, esse método é um algoritmo para reduzir uma matriz à forma tridiagonal e possui as seguintes características.

É um método iterativo convergente e pode prosseguir mantendo a matriz esparsa.
O algoritmo consiste principalmente em produtos matriz-vetor e é adequado à paralelização.
É adequado à decomposição geométrica de domínio associada a malhas de elementos finitos.
É possível realizar cálculos eficientes limitando o número de autovalores e o intervalo de modos a serem obtidos.

O método de Lanczos parte de um vetor inicial, gera sucessivamente vetores ortogonais e constrói uma base para um subespaço. Diz-se que ele é mais rápido que o método de subespaços, outro método iterativo, e é amplamente utilizado em programas de elementos finitos. Entretanto, esse método é sensível a erros numéricos, que podem destruir a ortogonalidade dos vetores e causar falha no cálculo. Por isso, são essenciais medidas para lidar com esses erros numéricos.

Interpretação geométrica (subespaço de Krylov)¶

Introduzindo a seguinte mudança de variáveis na Equação $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

o problema pode ser reescrito como

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

obtém-se.

Para um vetor apropriado $q_0$, aplica-se a transformação linear representada pela matriz $A$ (ver Figura 2.3.2).

$Transformação linear, pela matriz $A$, de $q_0$$

Figura 2.3.2 Transformação linear, pela matriz $A$, de $q_0$

O vetor transformado é ortogonalizado no espaço gerado juntamente com o vetor original. Isto é, realiza-se a ortogonalização de Gram-Schmidt, conforme ilustrado na Figura 2.3.2. Seja o vetor resultante $r_1$. Normalize-o para comprimento unitário, obtendo $q_1$ (Figura 2.3.3). A partir de $q_1$, obtém-se $q_2$ pelo mesmo procedimento. Nesse ponto, $q_2$ é ortogonal tanto a $q_1$ quanto a $q_0$ (Figura 2.3.4). Prosseguindo com o mesmo cálculo, obtêm-se vetores mutuamente ortogonais até a ordem da matriz.

$Vetor ortogonal a $q_0$: $q_1$$

Figura 2.3.3 Vetor ortogonal a $q_0$: $q_1$

$Vetor ortogonal a $q_1$ e $q_0$: $q_2$$

Figura 2.3.4 Vetor ortogonal a $q_1$ e $q_0$: $q_2$

Em particular, o algoritmo de Lanczos aplica-se à sequência de vetores $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

ou, de forma equivalente, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

por ortogonalização de Gram-Schmidt. Essa sequência de vetores é chamada de sequência de Krylov, e o espaço por ela gerado é chamado de subespaço de Krylov. Quando a ortogonalização de Gram-Schmidt é realizada nesse espaço, cada novo vetor pode ser obtido usando os dois vetores mais recentes. Isso é chamado de princípio de Lanczos.

Tridiagonalização¶

Na iteração acima, o cálculo do vetor de ordem (i+1) pode ser escrito como

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

onde

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Em notação matricial, isso se torna

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

onde

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Assim, os autovalores são obtidos resolvendo-se o problema de autovalores para a matriz tridiagonal obtida da Equação $\eqref{eq:2.3.13}$.

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