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Análise de contato

Quando dois corpos entram em contato, a força de contato \(t_c\) é transmitida através da superfície de contato. A equação do princípio dos trabalhos virtuais pode ser reescrita da seguinte forma.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Aqui, \(S_c\) representa a área de contato, e \(u^{(1)}\) e \(u^{(2)}\) representam, respectivamente, os deslocamentos dos corpos em contato 1 e 2.

Na análise de contato, as superfícies que podem entrar em contato são especificadas em pares. Uma superfície de cada par é definida como superfície mestre e a outra como superfície escrava. Neste método de análise mestre-escravo, as condições de restrição de contato são assumidas da seguinte forma.

  1. Os nós escravos não penetram a superfície mestre.
  2. Quando ocorre contato, o nó escravo é colocado na posição de contato e, por esse ponto de contato, a superfície mestre e a superfície escrava transmitem entre si forças de contato e de atrito.

Discretizando pelo método dos elementos finitos o último termo da Equação \(\eqref{eq:2.2.70}\), obtém-se a seguinte expressão

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Aqui, \(K_c\) e \(F_c\) representam, respectivamente, a matriz de rigidez de contato e a força de contato. As formulações pelo método dos elementos finitos dos métodos total Lagrange e updated Lagrange, considerando as restrições de contato, são dadas a seguir.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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