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接觸分析

當兩個物體發生接觸時，接觸力 \(t_c\) 會透過接觸面傳遞。 將虛功原理式改寫如下。

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

其中，\(S_c\) 表示接觸面積，\(u^{(1)}\) 與 \(u^{(2)}\) 分別表示接觸物體 1 與接觸物體 2 的位移。

在接觸分析中，將可能發生接觸的面成對指定。 這一對面中的一面設為主面，另一面設為從面。 在此主從分析方法中，接觸拘束條件假設如下。

  1. 從節點不得穿透主面。
  2. 發生接觸時，從節點位於接觸位置，主面與從面透過此接觸點彼此傳遞接觸力與摩擦力。

將式\(\eqref{eq:2.2.70}\)的最後一項以有限元素法離散化，可得下式

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

其中，\(K_c\) 與 \(F_c\) 分別表示接觸剛度矩陣與接觸力。 考慮接觸拘束的 total Lagrange 法與 updated Lagrange 法，其有限元素法定式如下。

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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