應力與守恆定律¶

本章整理應力張量的定義與相互關係，以及由質量、線動量與角動量守恆定律導出的平衡方程式與應力對稱性。三種應力張量（Cauchy 應力 \(\boldsymbol{\sigma}\)、第一 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{P}\)、第二 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{S}\)）依參考面與力向量採用何種配置而引入。配置、運動與變形梯度的定義請參閱運動、變形與應變，符號一覽請參閱物理量符號一覽。

Cauchy 應力張量¶

令現配置中點 \(\boldsymbol{x}\) 上的微小面（面積 \(d\Gamma\)、外向單位法向量 \(\boldsymbol{n}\)）所受的力為 \(d\boldsymbol{f}\)，並將牽引向量 \(\boldsymbol{t}\) 定義為單位面積上的力 \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\)。\(\boldsymbol{t}\) 同時依賴位置 \(\boldsymbol{x}\) 與法向量 \(\boldsymbol{n}\)。將動量守恆定律套用於微小四面體可知，\(\boldsymbol{t}\) 對 \(\boldsymbol{n}\) 呈線性，因此存在二階張量 \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) 使得

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

對任意 \(\boldsymbol{n}\) 皆成立（Cauchy 應力定理）。此張量 \(\boldsymbol{\sigma}\) 稱為 Cauchy 應力張量；由於它表示以現配置幾何形狀為基準的單位面積作用力，也稱為真應力。分量 \(\sigma_{ij}\) 表示在現配置中，垂直於座標軸 \(x_j\) 的微小面上單位面積所受力的 \(x_i\) 分量。

由後述的角動量守恆定律可知，Cauchy 應力為對稱張量

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

因此在三維中有 6 個獨立分量（\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)）。以 Voigt 表記將應力向量化，是以此對稱性為前提（請參閱張量記法與數學基礎）。Cauchy 應力用於 FrontISTR 的 Updated Lagrange 法幾何非線性分析，以及小變形分析的應力輸出。

第一與第二 Piola-Kirchhoff 應力¶

在有限變形中，常需要以基準配置的參考面與參考向量來表示應力，因此引入兩種 Piola-Kirchhoff 應力張量。令基準配置中微小面的面積為 \(d\Gamma_0\)，外向單位法向量為 \(\boldsymbol{N}\)。

第一 Piola-Kirchhoff 應力（第一 PK 應力、公稱應力）\(\boldsymbol{P}\)，定義為將現配置中的力 \(d\boldsymbol{f}\) 作用於基準配置微小面時的應力張量：

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

由此定義。利用 Nanson 公式 \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) 與 Cauchy 應力定理，可得與 Cauchy 應力的關係

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

。第一 PK 應力一般為非對稱張量。

第二 Piola-Kirchhoff 應力（第二 PK 應力）\(\boldsymbol{S}\)，定義為將現配置中的力 \(d\boldsymbol{f}\) 先以 \(\boldsymbol{F}^{-1}\) 拉回基準配置，再使其作用於基準配置微小面時的應力張量：

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

。力向量與作用面皆以基準配置中的量表示，因此對剛體旋轉保持不變，且為對稱張量。它與第一 PK 應力的關係以及由 Cauchy 應力轉換的公式為

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

。第二 PK 應力可由超彈性應變能函數 \(W(\boldsymbol{C})\) 以 \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) 導出；在 Total Lagrange 法中，則與 Green-Lagrange 應變 \(\boldsymbol{E}\) 組成功共軛對 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)。

各應力的參考配置與對稱性如下表所示。在小變形極限（\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)、\(J \to 1\)）下，三種應力一致。

應力張量	參考面	力向量	對稱性	用途
Cauchy 應力 \(\boldsymbol{\sigma}\)	現配置 \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	現配置 \(d\boldsymbol{f}\)	對稱	Updated Lagrange 法、小變形分析
第一 PK 應力 \(\boldsymbol{P}\)	基準配置 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	現配置 \(d\boldsymbol{f}\)	一般為非對稱	基準配置中的平衡方程式
第二 PK 應力 \(\boldsymbol{S}\)	基準配置 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	基準配置 \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	對稱	Total Lagrange 法、超彈性

質量與動量守恆定律及平衡方程式¶

令現配置中的質量密度為 \(\rho\)，基準配置中的質量密度為 \(\rho_0\)。質量守恆定律 \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\)，配合體積元素轉換 \(dv = J\, dV\)，可化為局部形式

\[ \rho_0 = J \rho \]

。

令單位質量的體力為 \(\boldsymbol{g}\)、加速度為 \(\boldsymbol{a}\)。將 Cauchy 應力定理與 Gauss 散度定理套用於線動量守恆定律（Euler 第一運動定律），可得現配置中的局部平衡方程式（運動方程式）

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

。利用 Nanson 公式與 \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\)，將積分改寫為基準配置後，可得基準配置中的局部形式

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

。兩種形式可透過應力轉換定律與 \(\rho_0 = J\rho\) 相互等價。忽略慣性項後

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

即為靜態平衡方程式，也是 FrontISTR 靜力分析（線性與非線性）的起始方程式。

角動量守恆定律與應力對稱性¶

將角動量守恆定律（Euler 第二運動定律）與線動量守恆所導出的平衡方程式結合，可得到 Cauchy 應力張量的對稱性

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

，因此在三維中由 6 個獨立分量組成。對轉換式 \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) 兩側取轉置，並利用 \(\boldsymbol{F}\) 的非奇異性，可知第二 PK 應力也為對稱

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

，因此同樣具有 6 個獨立分量。另一方面，第一 PK 應力 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) 一般並不對稱，只滿足關係式 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\)（亦即 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) 為對稱），其獨立分量數為 9。

這些對稱性是以 Voigt 表記將應力表示為 6 分量向量的前提。Voigt 表記的規約與材料矩陣的構成，請參閱張量記法與數學基礎與線性彈性。