応力と保存則¶

応力テンソルの定義と相互関係，および質量・運動量・角運動量の各保存則から導かれる平衡方程式と応力対称性を本章で整理する．3 種類の応力テンソル（Cauchy 応力 \(\boldsymbol{\sigma}\)，第 1 Piola-Kirchhoff 応力 \(\boldsymbol{P}\)，第 2 Piola-Kirchhoff 応力 \(\boldsymbol{S}\)）は，参照面と力ベクトルにどの配置を採るかの違いにより導入される．配置・運動・変形勾配の定義は運動・変形・ひずみを，記号一覧は物理量の記号一覧を参照．

Cauchy 応力テンソル¶

現配置の点 \(\boldsymbol{x}\) における微小面（面積 \(d\Gamma\)，外向き単位法線 \(\boldsymbol{n}\)）に作用する力を \(d\boldsymbol{f}\) とし，応力ベクトル \(\boldsymbol{t}\) を単位面積あたりの力 \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) で定義する．\(\boldsymbol{t}\) は位置 \(\boldsymbol{x}\) と法線 \(\boldsymbol{n}\) の双方に依存する．微小四面体への運動量保存則の適用から \(\boldsymbol{t}\) は \(\boldsymbol{n}\) について線形となり，2 階テンソル \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) が存在して

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

が任意の \(\boldsymbol{n}\) について成り立つ（Cauchy の応力定理）．このテンソル \(\boldsymbol{\sigma}\) を Cauchy 応力テンソルと呼び，現配置の幾何形状を基準とした単位面積あたりの力という意味で真応力ともいう．成分 \(\sigma_{ij}\) は，現配置で座標軸 \(x_j\) に直交する微小面の単位面積に作用する力の \(x_i\) 成分を表す．

後述の角運動量保存則により Cauchy 応力は対称テンソル

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

であり，3 次元では独立な 6 成分（\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)）を持つ．Voigt 表記による応力ベクトル化はこの対称性を前提とする（テンソル記法と数学的基礎を参照）．Cauchy 応力は FrontISTR の Updated Lagrange 法による幾何学的非線形解析および微小変形解析の応力出力に用いられる．

第 1・第 2 Piola-Kirchhoff 応力¶

有限変形では基準配置を参照面・参照ベクトルとして応力を表現する方が都合がよい場面が多く，2 種類の Piola-Kirchhoff 応力テンソルを導入する．基準配置の微小面の面積を \(d\Gamma_0\)，外向き単位法線を \(\boldsymbol{N}\) とする．

第 1 Piola-Kirchhoff 応力（第 1 PK 応力，公称応力）\(\boldsymbol{P}\) は，現配置の力 \(d\boldsymbol{f}\) を基準配置の微小面に作用させたときの応力テンソルとして

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

で定義される．Nanson の公式 \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) と Cauchy の応力定理から，Cauchy 応力との関係

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

を得る．第 1 PK 応力は一般に非対称テンソルである．

第 2 Piola-Kirchhoff 応力（第 2 PK 応力）\(\boldsymbol{S}\) は，現配置の力 \(d\boldsymbol{f}\) を \(\boldsymbol{F}^{-1}\) で基準配置に引き戻したうえで基準配置の微小面に作用させたときの応力テンソルとして

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

で定義される．力ベクトル・作用面のいずれも基準配置の量で表され，剛体回転に対して不変かつ対称テンソルである．第 1 PK 応力との関係および Cauchy 応力との変換式は

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

である．第 2 PK 応力は超弾性ひずみエネルギー関数 \(W(\boldsymbol{C})\) から \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) として導かれ，Total Lagrange 法では Green-Lagrange ひずみ \(\boldsymbol{E}\) と組をなす応力共役対 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) として用いられる．

参照配置と対称性は次表のとおり．微小変形の極限（\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\)，\(J \to 1\)）では 3 種の応力は一致する．

応力テンソル	参照面	力ベクトル	対称性	用途
Cauchy 応力 \(\boldsymbol{\sigma}\)	現配置 \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	現配置 \(d\boldsymbol{f}\)	対称	Updated Lagrange 法・微小変形解析
第 1 PK 応力 \(\boldsymbol{P}\)	基準配置 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	現配置 \(d\boldsymbol{f}\)	一般に非対称	基準配置の平衡方程式
第 2 PK 応力 \(\boldsymbol{S}\)	基準配置 \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	基準配置 \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	対称	Total Lagrange 法・超弾性

質量・運動量保存則と平衡方程式¶

現配置の質量密度を \(\rho\)，基準配置の質量密度を \(\rho_0\) とすると，質量保存則 \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) は体積要素の変換 \(dv = J\, dV\) により局所形

\[ \rho_0 = J \rho \]

に帰着する．

物体力（単位質量あたり）を \(\boldsymbol{g}\)，加速度を \(\boldsymbol{a}\) として，運動量保存則（Euler の第 1 運動法則）に Cauchy の応力定理と Gauss の発散定理を適用すると，現配置における局所形の 平衡方程式（運動方程式）

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

が得られる．Nanson の公式と \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) により基準配置の積分に書き換えると，基準配置における局所形

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

を得る．両形式は応力変換則と \(\rho_0 = J\rho\) により等価である．慣性項を無視した

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

は静的平衡方程式であり，FrontISTR の静解析（線形・非線形）の出発式となる．

角運動量保存則と応力対称性¶

角運動量保存則（Euler の第 2 運動法則）に運動量保存則からの平衡方程式を組み合わせると，Cauchy 応力テンソルの対称性

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

が導かれ，3 次元では独立な 6 成分から成る．変換式 \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) の両辺の転置と \(\boldsymbol{F}\) の正則性から，第 2 PK 応力も対称

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

であり独立な 6 成分から成る．一方，第 1 PK 応力 \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) は一般に対称ではなく，関係式 \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\)（すなわち \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) が対称）が成り立つのみで，独立成分数は 9 である．

これらの対称性は Voigt 表記による応力の 6 成分ベクトル化の前提となる．Voigt 表記の規約と材料行列の構成はテンソル記法と数学的基礎および線形弾性を参照．