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テンソル記法と数学的基礎

本章では，FrontISTR 理論マニュアルの以降の章で用いるテンソル記法・指標表記・Voigt 表記の規約を集約する．ここでは物理量の定義に依存しない純粋な記法規則のみを述べる．連続体運動に伴う配置（基準配置／現配置）に依存する記号規約（大文字・小文字の使い分け，物質微分と空間微分の区別）は，配置の概念を導入する運動・変形・ひずみに置いている．

テンソル記法

太字によるベクトル・テンソル表記

書体に関する原則として，スカラ量およびベクトル・テンソルの成分は細字（\(\rho\)，\(x_i\) など）で表記し，ベクトル・テンソル量それ自体は太字（\(\boldsymbol{a}\)，\(\boldsymbol{E}\)，\(\boldsymbol{\sigma}\) など）で表記する．

Einstein の縮約規約

特に断りのない限り，同一の添字が同じ項の中に 2 回現れる場合，その添字について和をとる Einstein の総和規約を適用する．たとえば

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

であり，テンソル \(\boldsymbol{A}\)，\(\boldsymbol{B}\) の積 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) の \(i,j\) 成分は

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

となる．添字の規約として，特に断りなく \(i, j, k, l, \ldots\) が添字に用いられた際は自由度に関する添字（3 次元なら \(1, 2, 3\)）を意味し，ギリシャ小文字 \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) が添字に用いられた際は要素構成節点に関する添字を意味する．

内積・転置・テンソル積

テンソル \(\boldsymbol{A}\) の転置を \(\boldsymbol{A}^T\) と表す．2 階テンソル \(\boldsymbol{A}\)，\(\boldsymbol{B}\) の内積（二重縮約）を

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

と表記する．ベクトル \(\boldsymbol{a}\)，\(\boldsymbol{b}\) の内積は \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\)，テンソル積は \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) である．

Voigt 表記

応力・ひずみは自由度に関する 2 階の対称テンソルであり，その間の線形関係を表す係数は 4 階のテンソルとなる．これをそのままプログラムで扱うのは計算量・コーディング（多次元配列・深い多重ループ）の観点から不利であり，一般的な有限要素法プログラムでは，対称性を考慮して応力・ひずみは列ベクトルに，4 階弾性テンソルは 2 次元の行列に圧縮して扱う．これを Voigt 表記と呼ぶ．

以降，テンソル量 \(\boldsymbol{A}\) の行列・ベクトル表記を \(\hat{A}\) と表し，元のテンソルと区別する．

応力・ひずみのベクトル表記

対称な応力テンソル \(\boldsymbol{\sigma}\) およびひずみテンソル \(\boldsymbol{\varepsilon}\) について，2 次元の場合は

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

3 次元の場合は

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

のように列ベクトルとして扱う．変分や微分などの派生量にも同じ規則を適用する．ひずみ側のせん断成分には係数 2 が付くことに注意（応力側には付かない）．この非対称性により，テンソル内積がベクトル内積として

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

の形で簡潔に書ける．実装上はせん断ひずみ成分の 2 倍因子を取り違えやすいため，常に「応力にはなし／ひずみにはあり」の規約を意識する必要がある．基準配置の量（第 2 Piola-Kirchhoff 応力 \(\boldsymbol{S}\) と Green-Lagrange ひずみ \(\boldsymbol{E}\)）に対しても全く同じ Voigt 規約を適用する．

4 階テンソルの行列表記

応力とひずみの線形関係 \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\)（成分表示で \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)）について，\(\boldsymbol{\varepsilon}\) の対称性を用いると

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

と書き換えられる．3 次元の場合，\(\tilde{C}\) を 6×6 の材料行列 \(\hat{\tilde{C}}\) として並べると，元のテンソル関係は

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

と表せる．以降，本マニュアルでは特に断らない限り，材料行列を \(D\)（または \(\hat{C}\)）で表記する．具体的な等方線形弾性での成分は線形弾性を参照．

微分演算子の規約

対称勾配作用素

ベクトル場 \(\boldsymbol{u}\) に対する対称勾配作用素 \(\nabla_S\) を

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

と定義する．成分表示では \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) である．微小変形のひずみ \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) はこの作用素で簡潔に表せる．有限変形において勾配をとる配置（基準／現）の使い分けは運動・変形・ひずみで扱う．

物質時間微分

ある量 \(A\) の物質時間微分（同一の物質点を追った時間微分）を上添えドットで \(\dot{A}\) と表す：

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

速度や加速度はこの規約に従う．

関連項目