周波数応答解析
問題設定
周波数応答解析は，外力が時間調和的に変動するとき，定常状態における系の応答振幅と位相を周波数領域で評価する解析である．対象とする運動方程式は減衰なしと減衰ありで異なる枠組みをとるため，本章ではまず減衰なしの自由振動から固有モードを導出し，これをモード基底として減衰下の調和応答を展開する．
減衰なしの自由振動と固有モード
減衰を考慮しない場合の運動方程式は式のようになる。
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + K U = 0
\label{eq:2.6.1}
\end{equation}\]
これを固有モードごとに展開すると、
\[\begin{equation}
U = U_j e^{i \omega_j t}
\label{eq:2.6.2}
\end{equation}\]
となる。これを式\(\eqref{eq:2.6.1}\) に代入すると、
\[\begin{equation}
K U_j = \omega_j^2 M U_j
\label{eq:2.6.3}
\end{equation}\]
を得る．この一般化固有値問題の数値解法（シフト付逆反復・ランチョス法）は 固有値解析 で扱う．本節では，得られる固有振動数・固有モードのうち，後続の調和応答展開で利用する性質を整理する．
固有振動数の実数性
この固有振動数が実数になることを以下のように証明する。\(\omega_j^2 = \lambda_j\) とおき、式\(\eqref{eq:2.6.3}\) の複素共役をとると式\(\eqref{eq:2.6.4}\) を得る。
\[\begin{equation}
K U_j = \lambda_j M U_j
K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J}
\label{eq:2.6.4}
\end{equation}\]
これに\(\overline{U}_J^T\) をかけると、
\[\begin{equation}
U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J
U_j^T M \overline{U}_J
\overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j
\label{eq:2.6.5}
\end{equation}\]
を得る。式\(\eqref{eq:2.6.5}\) より、
\[\begin{equation}
0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j
\label{eq:2.6.6}
\end{equation}\]
となる。ここで、質量マトリクスは正定値対称なのでゼロベクトルでない固有ベクトルについて
\[\begin{equation}
\overline{U_J} M U_j > 0
\label{eq:2.6.7}
\end{equation}\]
が成り立つ。ゆえに、
\[\begin{equation}
\lambda_j =\overline{\lambda_J}
\label{eq:2.6.8}
\end{equation}\]
となり、\(\omega_j^2 = \lambda_j\) は実数となる。
固有モードの直交性と規格化
ここで、2つの違うモードについて考える。
\[\begin{equation}
K U_i = \lambda_i M U_i
K U_j = \lambda_j M U_j
\label{eq:2.6.9}
\end{equation}\]
これより、
\[\begin{equation}
( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.10}
\end{equation}\]
が得られ、固有値が異なる場合には、
\[\begin{equation}
U_j^T M U_i = 0
\label{eq:2.6.11}
\end{equation}\]
となる。すなわち異なる固有モードは質量マトリクスについて直交する。
同じモードについては質量マトリクスについて規格化する(式\(\eqref{eq:2.6.12}\) )ことによって取り扱いが容易になる利点がある。
\[\begin{equation}
U_i^T M U_i = 1
\label{eq:2.6.12}
\end{equation}\]
減衰下の調和応答
次に、減衰を考慮した場合の周波数応答解析についての定式化を示す。対象とする運動方程式を式\(\eqref{eq:2.6.13}\) に示す。
\[\begin{equation}
M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F
\label{eq:2.6.13}
\end{equation}\]
ここでの減衰項はRayleigh型を想定して\(\eqref{eq:2.6.14}\) のようにして表せるものとする。
\[\begin{equation}
C = \alpha M + \beta K
\label{eq:2.6.14}
\end{equation}\]
固有値解析で得られた固有ベクトルにより変位ベクトルは時刻t において式\(\eqref{eq:2.6.15}\) のように展開できる。
\[\begin{equation}
U(t) = \sum_i b_i(t) U_i
\label{eq:2.6.15}
\end{equation}\]
このとき、外力項が調和振動子式の
\[\begin{equation}
F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.16}
\end{equation}\]
場合において\(b_{j}(t)\) を決定する。運動方程式\(\eqref{eq:2.6.13}\) は強制振動の形になるので
\[\begin{equation}
b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t}
\label{eq:2.6.17}
\end{equation}\]
が成り立つ。\(b_{j}(t)\) の展開係数の実部および虚部を求めると式\(\eqref{eq:2.6.18}i\) および式\(\eqref{eq:2.6.19}\) の形になる。
\[\begin{equation}
b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.18}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2}
\label{eq:2.6.19}
\end{equation}\]
となる。
関連項目