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熱伝導方程式

本章では，FrontISTR が対象とする熱伝導の支配方程式（連続体レベル）と境界条件を整理する．時間離散化および FEM 離散化は離散化（L3d）と解法アルゴリズム（L3e: solution_methods/05_transient_heat）へ委ねる．

支配方程式

連続体中での熱伝導方程式は以下のようになる。

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

ここで、\(\rho=\rho(x)\)は質量（密度）、\(c=c(x,T)\)は比熱、\(T=T(x,t)\)は温度、\(k=k(x,T)\)は熱伝導率、\(Q=Q(x,T,t)\)は発熱量、\(x\)は位置、\(t\)は時間を表す。\(k_x, k_y, k_z\) は異方性熱伝導における各方向の熱伝導率である。

具体的な熱物性（温度依存・異方性）は熱物性を参照。

境界条件

考慮している領域を\(S\)、その周囲を\(\Gamma\)とする。\(\Gamma\)上では、Dirichlet 型か Neumann 型のいずれかの境界条件が、いたるところで与えられるものと仮定すると境界条件は以下のようになる。

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

ただし、\(T_1\)，\(q\)は関数形が既知とする。\(q\)は境界からの流出熱流束である。境界からの熱流束 \(q\) は以下の 3 種類の成分で構成される。

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

ここで、\(q_s\) は分布熱流束、\(q_c\) は対流熱伝達による熱流束、\(q_r\) は輻射熱伝達による熱流束である。

ただし、\(Tc=Tc(x,t)\) は対流熱伝達雰囲気温度、\(hc=hc(x,t)\) は対流熱伝達係数、\(Tr=Tr(x,t)\) は輻射熱伝達雰囲気温度、\(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) は輻射熱伝達係数、\(\varepsilon\) は輻射率、\(\sigma\) は Stefan-Boltzmann 定数、\(F\) は形態係数である。

入力ファイルでの指定方法は機能編境界条件・荷重を参照。

弱形式

構造解析との連成境界

関連項目