Tensões e leis de balanço¶
Este capítulo organiza as definições e as relações mútuas dos tensores de tensão, bem como as equações de equilíbrio e a simetria das tensões derivadas das leis de conservação da massa, da quantidade de movimento e do momento angular. Os três tensores de tensão — tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), primeira tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) e segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) — são introduzidos de acordo com a configuração adotada para a superfície de referência e para o vetor de força. Para as definições de configuração, movimento e gradiente de deformação, consulte Movimento, deformação e extensão; para a lista de símbolos, consulte Lista de símbolos das grandezas físicas.
Tensor de tensão de Cauchy¶
Considere-se uma superfície infinitesimal num ponto \(\boldsymbol{x}\) da configuração atual (área \(d\Gamma\), normal unitária exterior \(\boldsymbol{n}\)), sobre a qual atua a força \(d\boldsymbol{f}\), e defina-se o vetor de tração \(\boldsymbol{t}\) como a força por unidade de área, \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) depende tanto da posição \(\boldsymbol{x}\) como da normal \(\boldsymbol{n}\). A aplicação da conservação da quantidade de movimento a um tetraedro infinitesimal mostra que \(\boldsymbol{t}\) é linear em \(\boldsymbol{n}\), pelo que existe um tensor de segunda ordem \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tal que
para qualquer \(\boldsymbol{n}\) (teorema das tensões de Cauchy). Este tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) denomina-se tensor de tensão de Cauchy e também tensão verdadeira, por representar a força por unidade de área medida relativamente à geometria da configuração atual. O componente \(\sigma_{ij}\) representa o componente \(x_i\) da força por unidade de área que atua numa superfície infinitesimal normal ao eixo de coordenadas \(x_j\) na configuração atual.
Como se mostra mais adiante a partir da conservação do momento angular, a tensão de Cauchy é um tensor simétrico:
Em três dimensões possui, portanto, seis componentes independentes (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). A vetorização da tensão em notação de Voigt pressupõe esta simetria (consulte Notação tensorial e fundamentos matemáticos). A tensão de Cauchy é utilizada na saída de tensões da análise geometricamente não linear do FrontISTR com o método de Lagrange atualizado e na análise de pequenas deformações.
Primeira e segunda tensões de Piola-Kirchhoff¶
Em deformação finita, é frequentemente conveniente expressar a tensão relativamente a superfícies e vetores da configuração de referência, pelo que são introduzidos dois tensores de tensão de Piola-Kirchhoff. Seja \(d\Gamma_0\) a área de uma superfície infinitesimal na configuração de referência e \(\boldsymbol{N}\) a respetiva normal unitária exterior.
A primeira tensão de Piola-Kirchhoff (primeira tensão PK, tensão nominal) \(\boldsymbol{P}\) é definida como o tensor de tensão obtido quando a força \(d\boldsymbol{f}\) na configuração atual é aplicada a uma superfície infinitesimal na configuração de referência:
Utilizando a fórmula de Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) em conjunto com o teorema das tensões de Cauchy, obtém-se a relação com a tensão de Cauchy
A primeira tensão PK é, em geral, não simétrica.
A segunda tensão de Piola-Kirchhoff (segunda tensão PK) \(\boldsymbol{S}\) é definida como o tensor de tensão obtido transportando a força \(d\boldsymbol{f}\) da configuração atual de volta para a configuração de referência com \(\boldsymbol{F}^{-1}\) e aplicando-a a uma superfície infinitesimal na configuração de referência:
Tanto o vetor de força como a superfície sobre a qual atua são expressos em grandezas da configuração de referência, tornando esta tensão invariante relativamente a rotações de corpo rígido e simétrica. A sua relação com a primeira tensão PK e a transformação a partir da tensão de Cauchy são
A segunda tensão PK é derivada de uma função de energia de deformação hiperelástica \(W(\boldsymbol{C})\) como \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) e, no método de Lagrange total, é utilizada com a deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) como par conjugado de trabalho \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
As configurações de referência e as propriedades de simetria são resumidas abaixo. No limite de pequenas deformações (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), as três tensões coincidem.
| Tensor de tensão | Superfície de referência | Vetor de força | Simetria | Aplicação |
|---|---|---|---|---|
| Tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) | Configuração atual \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Configuração atual \(d\boldsymbol{f}\) | Simétrica | Método de Lagrange atualizado / análise de pequenas deformações |
| Primeira tensão PK \(\boldsymbol{P}\) | Configuração de referência \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuração atual \(d\boldsymbol{f}\) | Geralmente não simétrica | Equações de equilíbrio na configuração de referência |
| Segunda tensão PK \(\boldsymbol{S}\) | Configuração de referência \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuração de referência \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Simétrica | Método de Lagrange total / hiperelasticidade |
Conservação da massa e da quantidade de movimento e equações de equilíbrio¶
Seja \(\rho\) a densidade de massa na configuração atual e \(\rho_0\) a densidade de massa na configuração de referência. A lei de conservação da massa \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), juntamente com a transformação do elemento de volume \(dv = J\, dV\), reduz-se à forma local
Esta é a relação local de conservação da massa.
Seja \(\boldsymbol{g}\) a força de volume por unidade de massa e \(\boldsymbol{a}\) a aceleração. Aplicando o teorema das tensões de Cauchy e o teorema da divergência de Gauss à conservação da quantidade de movimento (primeira lei do movimento de Euler), obtém-se a equação de equilíbrio (equação do movimento) local na configuração atual:
Reescrevendo o integral na configuração de referência por meio da fórmula de Nanson e de \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), obtém-se a forma local na configuração de referência:
As duas formas são equivalentes através da regra de transformação da tensão e de \(\rho_0 = J\rho\). Desprezando o termo de inércia, obtém-se
que é a equação de equilíbrio estático e constitui o ponto de partida da análise estática do FrontISTR (linear e não linear).
Conservação do momento angular e simetria da tensão¶
Combinando a conservação do momento angular (segunda lei do movimento de Euler) com a equação de equilíbrio resultante da conservação da quantidade de movimento, obtém-se a simetria do tensor de tensão de Cauchy:
Assim, possui seis componentes independentes em três dimensões. Tomando a transposta de ambos os membros da transformação \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) e utilizando a não singularidade de \(\boldsymbol{F}\), conclui-se que a segunda tensão PK também é simétrica:
e, por conseguinte, também possui seis componentes independentes. Em contraste, a primeira tensão PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) não é, em geral, simétrica; apenas se verifica a relação \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (isto é, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) é simétrico), e possui nove componentes independentes.
Estas simetrias constituem a base para expressar a tensão como um vetor de seis componentes em notação de Voigt. Consulte Notação tensorial e fundamentos matemáticos e Elasticidade linear para as convenções da notação de Voigt e a construção das matrizes de material.