Movimento, deformação e extensão¶

Configurações de referência e atual¶

Definição das configurações¶

Para distinguir qual a forma no tempo utilizada como base para descrever as grandezas físicas, este manual utiliza duas configurações.

Configuração de referência: a forma não deformada no início da análise (instante \(0\)), também designada configuração inicial. Um ponto na configuração de referência é representado pela coordenada material \(\boldsymbol{X}\), com volume \(V\) e superfície \(S\).
Configuração atual: a forma deformada no instante \(t\). Um ponto na configuração atual é representado pela coordenada espacial \(\boldsymbol{x}\), com volume \(v\) e superfície \(s\).

O movimento é representado como uma aplicação entre estas duas configurações, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), e o deslocamento é definido como \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notação dependente da configuração (maiúsculas/minúsculas)¶

O uso de maiúsculas ou minúsculas num símbolo distingue a configuração à qual pertence uma grandeza física.

As grandezas pertencentes à configuração de referência são escritas com símbolos em maiúsculas (por exemplo, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
As grandezas pertencentes à configuração atual são escritas com símbolos em minúsculas (por exemplo, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
As grandezas que abrangem ambas as configurações, como a primeira tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), utilizam a notação convencional e são identificadas explicitamente no texto quando necessário.
Na teoria de pequenas deformações, a distinção entre as duas configurações desaparece, pelo que são utilizados apenas símbolos em minúsculas (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradientes na configuração de referência e na configuração atual¶

A notação e o significado diferem consoante a configuração relativamente à qual é tomada uma derivada espacial.

Gradiente na configuração de referência \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradiente relativamente às coordenadas materiais. Exemplo: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradiente na configuração atual \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradiente relativamente às coordenadas espaciais. Exemplo: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Estão relacionados por \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Para a convenção relativa às derivadas temporais (derivada temporal material \(\dot{(\cdot)}\)), consulte Notação tensorial e fundamentos matemáticos.

Descrição do movimento¶

Aplicação do movimento e descrições material/espacial¶

Se um contínuo for considerado como um conjunto de pontos materiais identificados pelas suas posições \(\boldsymbol{X}\) no instante \(0\), o movimento é representado por uma aplicação \(\phi\) que associa a cada ponto material \(\boldsymbol{X}\) a sua posição \(\boldsymbol{x}\) no instante \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Segundo a convenção em que a configuração de referência é a configuração inicial, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Distinguem-se duas descrições consoante a escolha das variáveis independentes.

Descrição material (descrição de Lagrange): representa as grandezas físicas como funções de \((\boldsymbol{X}, t)\). Na mecânica dos sólidos, esta é uma escolha natural porque a configuração de referência é fornecida como uma forma fixa.
Descrição espacial (descrição de Euler): representa as grandezas físicas como funções de \((\boldsymbol{x}, t)\). É a descrição padrão na mecânica dos fluidos.

A análise estrutural do FrontISTR baseia-se fundamentalmente na descrição material, mas o método Updated Lagrange também utiliza grandezas da descrição espacial porque a configuração atual é utilizada como nova configuração de referência.

Deslocamento, velocidade e aceleração¶

Como indicado na secção anterior, o deslocamento \(\boldsymbol{u}\) é definido por \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Não se faz qualquer hipótese quanto à sua magnitude, pelo que estão incluídas deformações finitas. Os vetores velocidade e aceleração são definidos como derivadas temporais materiais de \(\boldsymbol{u}\) mantendo fixo o ponto material:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Estas equações definem a velocidade e a aceleração.

Gradiente de deformação e tensores de deformação¶

Tensor gradiente de deformação¶

A grandeza fundamental na mecânica do contínuo com deformações finitas é o tensor gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\). É a aplicação linear que transforma um elemento de linha infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) na configuração de referência num elemento de linha infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) na configuração atual, e é definido como o gradiente da aplicação do movimento relativamente às coordenadas materiais:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Assim definido (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) no estado não deformado. \(\boldsymbol{F}\) é amplamente utilizado para definir deformações e tensões e para transformar grandezas físicas entre configurações.

Razão de volumes¶

A razão entre um volume infinitesimal \(dV\) na configuração de referência e o volume infinitesimal correspondente \(dv\) na configuração atual é designada razão de volumes \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

A invertibilidade do contínuo exige \(J > 0\). A conservação da massa é expressa por \(\rho_0 = J\rho\).

Tensores de deformação de Cauchy-Green direito e esquerdo¶

Como o gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\) inclui a rotação de corpo rígido, as medidas da deformação propriamente dita utilizam grandezas das quais essa rotação foi removida. O tensor de deformação de Cauchy-Green direito \(\boldsymbol{C}\) (configuração de referência) e o tensor de deformação de Cauchy-Green esquerdo \(\boldsymbol{b}\) (configuração atual) são definidos por

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Ambos são tensores simétricos e têm os mesmos valores próprios (os quadrados dos alongamentos principais). Os invariantes principais das funções de energia de deformação hiperelásticas são expressos utilizando estes tensores.

Tensores de extensão¶

Tensor de extensão de Green-Lagrange¶

Como medida de extensão referida à configuração de referência, o tensor de extensão de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) é definido por

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

É um tensor simétrico que representa a variação do produto interno de vetores infinitesimais na configuração de referência, é invariante relativamente à rotação de corpo rígido e satisfaz \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) no estado não deformado. Utilizando \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) obtém-se

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Isto exprime a extensão como a soma de termos de primeira e segunda ordem no gradiente de deslocamento; o termo de segunda ordem representa a não linearidade geométrica. No método Total Lagrange, é utilizada no par conjugado em trabalho \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor de extensão de Almansi¶

Como medida de extensão referida à configuração atual, o tensor de extensão de Almansi \(\boldsymbol{e}\) é definido por

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Relaciona-se com a extensão de Green-Lagrange por \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor de extensão infinitesimal¶

Quando o gradiente de deslocamento é pequeno (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), o termo de segunda ordem da extensão de Green-Lagrange pode ser desprezado. Como a distinção entre as duas configurações desaparece nesse caso, reduz-se ao tensor de extensão infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\), escrevendo o gradiente em coordenadas espaciais:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

O FrontISTR utiliza esta medida de extensão na análise estática linear, análise modal, análise de resposta em frequência e análise dinâmica linear. A análise de deformações finitas utiliza \(\boldsymbol{E}\) no método Total Lagrange e o tensor taxa de deformação \(\boldsymbol{D}\) referido à configuração atual no método Updated Lagrange.