运动、变形与应变¶

参考构形与当前构形¶

构形的定义¶

为区分描述物理量时以“哪个时刻的形状”为基准，本手册使用两种构形。

参考构形（reference configuration）：分析开始时（时刻 \(0\)）的变形前形状（也称为初始构形）。参考构形中的点用物质坐标 \(\boldsymbol{X}\) 表示，体积记为 \(V\)，表面记为 \(S\)。
当前构形（current configuration）：时刻 \(t\) 的变形后形状。当前构形中的点用空间坐标 \(\boldsymbol{x}\) 表示，体积记为 \(v\)，表面记为 \(s\)。

运动表示为这两种构形之间的映射 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\)，位移定义为 \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)。

与构形相关的符号约定（大写/小写）¶

通过符号的大小写来区分物理量属于哪一种构形。

属于参考构形的量用大写符号表示（例如：\(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)）。
属于当前构形的量用小写符号表示（例如：\(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)）。
对于第一 Piola-Kirchhoff 应力 \(\boldsymbol{P}\) 这类跨越两种构形的量，采用惯用符号，并在正文中按需说明。
在小变形理论中，两种构形的区别消失，因此只使用小写符号（\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)）。

参考构形梯度与当前构形梯度¶

根据空间微分是相对于哪一种构形求取，其符号和含义有所不同。

参考构形梯度 \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)：关于物质坐标的梯度。例如：\(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)。
当前构形梯度 \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)：关于空间坐标的梯度。例如：\(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)。

二者通过 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) 相联系。时间微分的约定（物质时间导数 \(\dot{(\cdot)}\)）参见张量记法与数学基础。

运动的描述¶

运动映射与物质描述、空间描述¶

若将连续体视为以时刻 \(0\) 的位置 \(\boldsymbol{X}\) 为标签的物质点集合，则运动可由映射 \(\phi\) 表示，该映射将物质点 \(\boldsymbol{X}\) 对应到其在时刻 \(t\) 的位置 \(\boldsymbol{x}\)：

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

即如上式所示。在以参考构形作为初始构形的约定下，\(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)。

根据独立变量的选取，可区分两种描述。

物质描述（Lagrange 描述）：将物理量表示为 \((\boldsymbol{X}, t)\) 的函数。在固体力学中，由于参考构形作为固定形状给定，因此这是自然的选择。
空间描述（Euler 描述）：将物理量表示为 \((\boldsymbol{x}, t)\) 的函数。该描述通常用于流体力学。

FrontISTR 的结构分析基本以物质描述为基础，但 Updated Lagrange 法将当前构形用作新的参考构形，因此也同时使用空间描述中的物理量。

位移、速度与加速度¶

如前节所述，位移 \(\boldsymbol{u}\) 定义为 \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)。不对其大小作任何假设，因此也包含有限变形。速度向量和加速度向量定义为固定物质点时 \(\boldsymbol{u}\) 的物质时间导数：

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

由此定义速度与加速度。

变形梯度与变形张量¶

变形梯度张量¶

有限变形连续体力学中的基本量是变形梯度张量 \(\boldsymbol{F}\)。它是将参考构形中的微小线元 \(d\boldsymbol{X}\) 映射到当前构形中的微小线元 \(d\boldsymbol{x}\) 的线性映射，并定义为运动映射关于物质坐标的梯度：

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

由此定义（\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)）。在无变形状态下，\(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\)。\(\boldsymbol{F}\) 广泛用于应变和应力的定义，以及不同构形之间物理量的变换。

体积变化比¶

将参考构形中的微小体积 \(dV\) 与当前构形中的微小体积 \(dv\) 之比称为体积变化比 \(J\)，定义为

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

由上式给出。由连续体的可逆性假设 \(J > 0\)。质量守恒定律表示为 \(\rho_0 = J\rho\)。

右、左 Cauchy-Green 变形张量¶

由于变形梯度 \(\boldsymbol{F}\) 包含刚体转动，因此描述变形本身的度量采用去除刚体转动后的量。定义右 Cauchy-Green 变形张量 \(\boldsymbol{C}\)（参考构形）和左 Cauchy-Green 变形张量 \(\boldsymbol{b}\)（当前构形）为

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

二者都是对称张量，并具有相同的特征值（主伸长比的平方）。超弹性应变能函数的主不变量可用这些张量表示。

应变张量¶

Green-Lagrange 应变张量¶

作为以参考构形为基准的应变度量，定义 Green-Lagrange 应变张量 \(\boldsymbol{E}\) 为

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

它是表示参考构形中微小向量内积变化的对称张量，对刚体转动不变，并在无变形状态下满足 \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\)。利用 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) 可得

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

因此可表示为位移梯度的一阶项与二阶项之和，其中二阶项表示几何非线性。在 Total Lagrange 法中，作为功共轭对 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) 使用。

Almansi 应变张量¶

作为以当前构形为基准的应变度量，定义 Almansi 应变张量 \(\boldsymbol{e}\) 为

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

它与 Green-Lagrange 应变通过 \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\)（pull-back）相联系。

小应变张量¶

当位移梯度很小（\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)）时，可忽略 Green-Lagrange 应变的二阶项，并且两种构形的区别消失，因此归结为以空间坐标表示梯度的小应变张量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)：

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR 的线性静力分析、模态分析、频率响应分析和线性动力分析采用这一应变度量。有限变形分析中，Total Lagrange 法使用 \(\boldsymbol{E}\)，Updated Lagrange 法使用以当前构形为基准的变形速率张量 \(\boldsymbol{D}\)。