线弹性静力分析（入门）
这里给出基于小变形理论的弹性静力分析公式。应力-应变关系假定为线弹性。
本章作为理解有限元结构分析整体框架的入门内容，编排为可独立阅读的一章。
关于虚功原理的一般理论（当前构形、初始构形及向小变形的归约），请参阅虚功原理；关于线弹性本构关系的详细信息，请参阅线弹性；关于张量记号和 Voigt 表示的约定，请参阅张量记号与数学基础；关于有限变形的一般公式，请参阅运动、变形与应变；关于非线性问题的求解方法，请参阅切线刚度矩阵。
基本方程
在小变形和线弹性假设下，固体力学的边值问题由平衡方程、力学边界条件和几何边界条件（本质边界条件）组成（见图 2.1.1）：
\[\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{于} \ V
\label{eq:2.1.1}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{于} \ S_t
\label{eq:2.1.2}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{于} \ S_u
\label{eq:2.1.3}
\end{equation}\]
其中 \(\boldsymbol{\sigma}\) 为 Cauchy 应力，\(\overline{\boldsymbol{b}}\) 为单位体积的体力，\(\overline{\boldsymbol{t}}\) 为表面力（规定值），\(\overline{\boldsymbol{u}}\) 为规定位移，\(S_t, S_u\) 分别为力学边界和几何边界。
图 2.1.1 固体力学中的边值问题（小变形问题）
利用对称梯度算子，应变-位移关系为
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}
\label{eq:2.1.4}
\end{equation}\]
线弹性本构方程为
\[\begin{equation}
\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}
\label{eq:2.1.5}
\end{equation}\]
给出（\(\boldsymbol{C}\) 为四阶弹性张量）。
虚功原理
虚功原理的一般形式（当前构形表示、初始构形表示及向小变形的归约）汇总于虚功原理。在小变形和线弹性假设下，弱形式为
\[\begin{equation}
\int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS
+ \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV
\label{eq:2.1.6}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{于} \ S_u
\label{eq:2.1.7}
\end{equation}\]
，代入本构方程 \eqref{eq:2.1.5}，并用 Voigt 表示写成 \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\)，则得到可直接用于离散化的形式
\[\begin{equation}
\int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.10}
\end{equation}\]
（\(D\) 为线弹性中的弹性矩阵）。式 \eqref{eq:2.1.10} 和式 \eqref{eq:2.1.7} 即为下文离散化的虚功原理。
离散化与整体方程组装
按有限元对虚功原理式 \( \eqref{eq:2.1.10} \) 进行离散化，得到下式。
\[\begin{equation}
\sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV
= \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.11}
\end{equation}\]
对于每个单元，使用构成该单元的节点位移按下式插值位移场。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.12}
\end{equation}\]
此时，利用式 \(\eqref{eq:2.1.4}\)，应变由下式给出。
\[\begin{equation}
\hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U}
\label{eq:2.1.13}
\end{equation}\]
将式 \(\eqref{eq:2.1.12}\)、式 \(\eqref{eq:2.1.13}\) 代入式 \(\eqref{eq:2.1.11}\)，得到下式。
\[\begin{equation}
\sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U}
= \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS
+ \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV
\label{eq:2.1.14}
\end{equation}\]
式 \(\eqref{eq:2.1.14}\) 可整理为下式。
\[\begin{equation}
\delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.15}
\end{equation}\]
其中，
由式 \(\eqref{eq:2.1.16}\)、式 \(\eqref{eq:2.1.17}\) 定义的矩阵和向量分量，可以针对每个有限元计算并叠加组装。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV
\label{eq:2.1.16}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
\boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right)
\label{eq:2.1.17}
\end{equation}\]
由于式 \(\eqref{eq:2.1.15}\) 对任意虚位移 \(\delta \boldsymbol{U}\) 都成立，因此得到下式。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}
\label{eq:2.1.18}
\end{equation}\]
另一方面，位移边界条件式 \(\eqref{eq:2.1.3}\) 表示如下。
\[\begin{equation}
\boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}}
\label{eq:2.1.19}
\end{equation}\]
通过在约束条件式 \(\eqref{eq:2.1.19}\) 下求解式 \(\eqref{eq:2.1.18}\)，可以确定节点位移 \(\boldsymbol{U}\)。
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