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增量分析框架

增量分析的必要性

如前所述，在小变形问题的分析中，可以使用与平衡方程等基本方程等价的虚功原理，并用有限元将该方程离散化，从而进行有限元分析。在处理结构大变形的有限变形问题中，基本上同样使用虚功原理。

但是，在有限变形问题中，即使假设材料为线性，虚功原理方程关于位移仍然是非线性方程。 为求解非线性方程，通常采用迭代法进行反复计算。

在这种迭代计算中，采用增量分析方法：针对较小的载荷增量分段计算，并逐步累积这些增量，直至达到最终变形状态。 在假设小变形问题时，定义应变和应力所依据的构形在变形前后并不特别区分。 也就是说，在小变形假设下，用于描述基本方程的构形无论是变形前还是变形后都没有影响。

在有限变形问题中进行增量分析时，根据参考构形取初始构形还是取增量开始时的构形，公式会有所不同。 前者称为 Total Lagrange 法，后者称为 Updated Lagrange 法。详细内容请参阅本章末尾的参考文献等。

起始方程：时刻 \(t'\) 的虚功原理

考虑一种增量分析，其中时刻 \(t\) 之前的状态已知，而时刻 \(t' = t + \Delta t\) 的状态未知（参阅图 2.2.1）。时刻 \(t'\) 的平衡方程、边界条件和虚功原理（当前构形表示，采用 Cauchy 应力 \(^{t'}\sigma\) 和 Almansi 应变线性部分 \(^{t'} A_{(L)}\)）如虚功原理所示。

增量分析概念

图 2.2.1　增量分析概念

但是，由于该起始方程是用时刻 \(t'\) 的（未知）构形描述的，因此实际求解时，需要重新选择时刻 \(0\) 的初始构形 \(V\) 或时刻 \(t\) 的当前构形 \(^{t'} v\) 作为参考构形，将其改写为增量形式后再求解：

  • Total Lagrange 法 — 以初始构形 \(V\) 为参考。使用第 2 PK 应力 \(\boldsymbol{S}\) 和 Green-Lagrange 应变 \(\boldsymbol{E}\)。
  • Updated Lagrange 法 — 以增量开始时的当前构形 \(^{t}v\) 为参考。使用 Cauchy 应力 \(\boldsymbol{\sigma}\) 和 Almansi 应变线性部分 \(\boldsymbol{A}_{(L)}\)。

两种公式的空间离散化（B 矩阵、内力向量）请参阅内力虚功的离散化，线性化和切线刚度的构成请参阅切线刚度矩阵。

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