انتقل إلى المحتوى

إطار التحليل التزايدي

الحاجة إلى التحليل التزايدي

كما ذُكر أعلاه، يمكن في تحليل مسائل التشوه الصغير إجراء تحليل العناصر المحدودة باستخدام مبدأ الشغل الافتراضي المكافئ للمعادلات الأساسية مثل معادلات الاتزان، ثم تقطيع هذه المعادلة بالعناصر المحدودة. وينطبق المبدأ الأساسي نفسه، أي استخدام مبدأ الشغل الافتراضي، على تحليل مسائل التشوه المحدود التي تتناول التشوهات الكبيرة للمنشآت.

ومع ذلك، في مسائل التشوه المحدود تصبح معادلة مبدأ الشغل الافتراضي غير خطية بالنسبة إلى الإزاحة حتى مع افتراض خطية المادة. ولحل المعادلات غير الخطية تُستخدم عادةً حسابات تكرارية بطريقة تكرارية.

وفي هذه الحسابات التكرارية تُستخدم طريقة التحليل التزايدي، حيث يُجرى الحساب بصورة مجزأة لتزايدات حمل صغيرة ثم تُراكم هذه التزايدات حتى الوصول إلى حالة التشوه النهائية. عند افتراض مسألة تشوه صغير، لم يكن هناك تمييز خاص بين التهيئة قبل التشوه وبعده عند تعريف الانفعال والإجهاد. أي إنه عند افتراض التشوه الصغير لا يهم ما إذا كانت التهيئة المستخدمة لوصف المعادلات الأساسية هي التهيئة قبل التشوه أم بعده.

عند إجراء تحليل تزايدي لمسألة تشوه محدود تختلف الصياغة بحسب اتخاذ التهيئة الابتدائية أو التهيئة عند بداية التزايد تهيئةً مرجعية. تسمى الأولى طريقة total Lagrange، والثانية طريقة updated Lagrange. وللتفاصيل، يُرجى الرجوع إلى المراجع في نهاية الفصل والمواد ذات الصلة.

معادلة الانطلاق: مبدأ الشغل الافتراضي عند الزمن \(t'\)

نفترض تحليلًا تزايديًا تكون فيه الحالة حتى الزمن \(t\) معلومة والحالة عند الزمن \(t' = t + \Delta t\) مجهولة (انظر الشكل 2.2.1). وتكون معادلات الاتزان والشروط الحدّية ومبدأ الشغل الافتراضي عند الزمن \(t'\) (معبَّرًا عنها في التهيئة الحالية باستخدام إجهاد Cauchy \(^{t'}\sigma\) والجزء الخطي من انفعال Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) كما هو معطى في مبدأ الشغل الافتراضي.

مفهوم التحليل التزايدي

الشكل 2.2.1　مفهوم التحليل التزايدي

لكن معادلة الانطلاق هذه مكتوبة في التهيئة (المجهولة) عند الزمن \(t'\)، ولذلك يختار الحل الفعلي من جديد إما التهيئة الابتدائية \(V\) عند الزمن \(0\) أو التهيئة الحالية \(^{t'} v\) عند الزمن \(t\) بوصفها التهيئة المرجعية، ثم يعيد كتابة المعادلة بصيغة تزايدية قبل حلها:

  • طريقة Total Lagrange — تستخدم التهيئة الابتدائية \(V\) مرجعًا. ويُستخدم إجهاد PK الثاني \(\boldsymbol{S}\) وانفعال Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • طريقة Updated Lagrange — تستخدم التهيئة الحالية \(^{t}v\) عند بداية التزايد مرجعًا. ويُستخدم إجهاد Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) والجزء الخطي من انفعال Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

للتقطيع المكاني للصياغتين (مصفوفة B ومتجه القوة الداخلية)، انظر تقطيع الشغل الافتراضي الداخلي، وللخطية وبناء الصلابة المماسية انظر مصفوفة الصلابة المماسية.

موضوعات ذات صلة