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Marco de análisis incremental

Necesidad del análisis incremental

Como se ha descrito anteriormente, en el análisis de problemas de pequeñas deformaciones puede realizarse un análisis por elementos finitos utilizando el principio de los trabajos virtuales, equivalente a las ecuaciones fundamentales, como las ecuaciones de equilibrio, y discretizando esta ecuación mediante elementos finitos. El mismo principio básico de los trabajos virtuales se utiliza también en el análisis de problemas de deformación finita que implican grandes deformaciones de las estructuras.

Sin embargo, en los problemas de deformación finita, incluso si se supone linealidad del material, la ecuación del principio de los trabajos virtuales se vuelve no lineal con respecto al desplazamiento. Para resolver ecuaciones no lineales, por lo general se realizan cálculos iterativos mediante un método iterativo.

En estos cálculos iterativos se utiliza un método de análisis incremental, en el que el cálculo se realiza por etapas para pequeños incrementos de carga y los incrementos se acumulan hasta alcanzar el estado deformado final. Cuando se supone un problema de pequeñas deformaciones, no se hace una distinción particular entre las configuraciones anterior y posterior a la deformación al definir la deformación unitaria y la tensión. Es decir, bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones, es indiferente que la configuración utilizada para describir las ecuaciones fundamentales sea la configuración anterior o posterior a la deformación.

Cuando se realiza un análisis incremental de un problema de deformación finita, la formulación difiere según se tome como configuración de referencia la configuración inicial o la configuración al comienzo del incremento. El primero se denomina método lagrangiano total y el segundo, método lagrangiano actualizado. Para más detalles, consulte las referencias al final del capítulo y el material relacionado.

Ecuación de partida: principio de los trabajos virtuales en el instante \(t'\)

Considere un análisis incremental en el que se conoce el estado hasta el instante \(t\) y se desconoce el estado en el instante \(t' = t + \Delta t\) (véase la Figura 2.2.1). Las ecuaciones de equilibrio, las condiciones de contorno y el principio de los trabajos virtuales en el instante \(t'\) (expresados en la configuración actual mediante la tensión de Cauchy \(^{t'}\sigma\) y la parte lineal de la deformación de Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) se presentan en Principio de los trabajos virtuales.

Concepto de análisis incremental

Figura 2.2.1 Concepto de análisis incremental

Sin embargo, como esta ecuación de partida está escrita en la configuración (desconocida) del instante \(t'\), el procedimiento de solución real selecciona como configuración de referencia la configuración inicial \(V\) en el instante \(0\) o la configuración actual \(^{t'} v\) en el instante \(t\), reescribe la ecuación en forma incremental y, a continuación, la resuelve:

  • Método lagrangiano total — Utiliza la configuración inicial \(V\) como referencia. Se emplean la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) y la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
  • Método lagrangiano actualizado — Utiliza como referencia la configuración actual \(^{t}v\) al comienzo del incremento. Se emplean la tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) y la parte lineal de la deformación de Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

Para la discretización espacial de ambas formulaciones (matriz B y vector de fuerzas internas), consulte Discretización del trabajo virtual interno; para la linealización y la construcción de la rigidez tangente, consulte Matriz de rigidez tangente.

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