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Trabajo virtual de las fuerzas externas y ensamblaje de las ecuaciones globales

En Discretización del trabajo virtual de las fuerzas internas, el miembro izquierdo de la forma débil se redujo al vector de fuerzas internas del elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (método UL) o \(\boldsymbol{Q}^e\) (método TL). Este capítulo introduce el vector de fuerzas externas nodales del elemento \(\boldsymbol{F}^e\) a partir del trabajo virtual de las fuerzas externas y, a continuación, aplica la operación de ensamblaje, que reordena y acumula las magnitudes nodales de los elementos según el número de nodo global, obteniendo finalmente el sistema no lineal de ecuaciones en desplazamientos nodales que resuelve el análisis estructural no lineal de FrontISTR.

Descomposición por elementos del trabajo virtual de las fuerzas externas

El miembro derecho del Principio de los trabajos virtuales puede descomponerse elemento por elemento en el trabajo virtual de las fuerzas externas, formado por las fuerzas de volumen y las tracciones superficiales prescritas en los contornos mecánicos. Para escribir en forma matricial la interpolación de desplazamientos introducida en Funciones de forma y aproximación por elementos finitos, disponga la función de forma \(N_\alpha^e\) del nodo \(\alpha\) en la diagonal del bloque \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) y forme \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), de modo que \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Al sustituirlo en el trabajo virtual de las fuerzas externas escrito en la configuración de referencia se obtiene

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

donde el vector de fuerzas externas nodales del elemento se organiza como \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Así, el trabajo virtual de las fuerzas externas se reduce a la misma forma «vector nodal del elemento × función de prueba» que el miembro de las fuerzas internas (si se escribe en la configuración actual, se obtiene la misma forma mediante las sustituciones \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) y \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Ensamblaje de las magnitudes nodales de los elementos

Las magnitudes nodales \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) obtenidas para cada elemento se acumulan en vectores globales ordenados por número de nodo global. Sea el número de nodo global correspondiente al número de nodo local \(\Omega^e\) del elemento \(\alpha\)

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Entonces, una magnitud nodal del elemento es idéntica al componente correspondiente de la magnitud nodal global (por ejemplo, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Como un nodo \(i_g\) suele ser compartido por varios elementos, defina el conjunto de pares \((e, \alpha)\) cuyo número de nodo global es \(i_g\) como

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Al utilizar este conjunto para reescribir la suma como \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), se obtienen la fuerza interna nodal y el vector global de fuerzas internas para los \(n_g\) nodos:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Aquí, \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) es la resultante de las fuerzas internas nodales de los elementos que actúan en el nodo \(i_g\) y es \(\boldsymbol{0}\) cuando no actúa ninguna fuerza externa y se satisface el equilibrio. El mismo procedimiento en el método UL da \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); como sus valores numéricos satisfacen \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), en lo sucesivo se utiliza la notación \(\boldsymbol{Q}\) salvo cuando sea necesario distinguirlas. El vector global de fuerzas externas \(\boldsymbol{F}\) se obtiene mediante la misma acumulación.

En la implementación, el conjunto \(\mathcal{E}(i_g)\) no se construye explícitamente; en su lugar, las contribuciones se suman a los componentes correspondientes dentro del bucle de elementos.

Inicializar el vector global de fuerzas internas Q a 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (número de elementos)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

El vector global de fuerzas externas \(\boldsymbol{F}\) se construye mediante el mismo procedimiento. Esta operación de sumar y almacenar magnitudes nodales de los elementos en vectores y matrices numerados por número de nodo global se denomina ensamblaje. Para tensores de segundo orden asociados a dos números de nodo (como las matrices de rigidez), se obtiene el mismo tipo de ensamblaje utilizando el conjunto \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{y}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (consulte Matriz de rigidez tangente para la construcción concreta).

Ecuaciones no lineales que deben resolverse

Al sustituir las fuerzas internas y externas ensambladas en el Principio de los trabajos virtuales, y teniendo en cuenta que se cumple para cualquier función de prueba \(\delta\boldsymbol{u}^n\) que satisfaga las condiciones de contorno geométricas, se obtiene

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

En el contexto del análisis incremental (Marco del análisis incremental), restablezca el subíndice temporal \(_{n+1}\) y omita el superíndice \(^n\) que denota el vector nodal global. La ecuación que debe resolverse es entonces

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Así, el problema discretizado de valores de contorno de hallar el desplazamiento nodal \(t_{n+1}\) en el instante \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) se reduce a resolver esta ecuación no lineal en desplazamientos junto con las condiciones de contorno geométricas. La linealización de la ecuación y la construcción de la matriz de rigidez tangente se describen en Matriz de rigidez tangente, y el método iterativo de resolución en Método de Newton-Raphson.

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