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Lavoro virtuale delle forze esterne e assemblaggio delle equazioni globali

In Discretizzazione del lavoro virtuale delle forze interne, il lato sinistro della forma debole è stato ridotto al vettore delle forze interne dell'elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (metodo UL) oppure \(\boldsymbol{Q}^e\) (metodo TL). Questo capitolo introduce il vettore delle forze esterne nodali dell'elemento \(\boldsymbol{F}^e\) a partire dal lavoro virtuale delle forze esterne, quindi applica l'operazione di assemblaggio, che riordina e accumula le grandezze nodali degli elementi in base al numero globale dei nodi, ottenendo infine il sistema non lineare di equazioni negli spostamenti nodali risolto dall'analisi strutturale non lineare di FrontISTR.

Decomposizione per elemento del lavoro virtuale delle forze esterne

Il lato destro del Principio dei lavori virtuali può essere scomposto elemento per elemento nel lavoro virtuale delle forze esterne, costituito dalle forze di volume e dalle trazioni superficiali prescritte sui contorni meccanici. Per scrivere in forma matriciale l'interpolazione dello spostamento introdotta in Funzioni di forma e approssimazione agli elementi finiti, si definisce il blocco \(\alpha\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) ponendo la funzione di forma \(N_\alpha^e\) sulla diagonale di una matrice \(d \times d\), e si forma \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), in modo che \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Sostituendo questa espressione nel lavoro virtuale delle forze esterne scritto nella configurazione di riferimento si ottiene

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

dove il vettore delle forze esterne nodali dell'elemento è disposto come \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Il lavoro virtuale delle forze esterne viene quindi ridotto alla stessa forma "vettore nodale dell'elemento × funzione di test" del lato delle forze interne (se scritto nella configurazione corrente, si ottiene la stessa forma con le sostituzioni \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) e \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Assemblaggio delle grandezze nodali degli elementi

Le grandezze nodali \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) ottenute per ciascun elemento vengono accumulate in vettori globali ordinati per numero globale di nodo. Indichiamo con

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

il numero globale di nodo corrispondente al numero di nodo locale \(\alpha\) dell'elemento \(\Omega^e\). Una grandezza nodale di elemento coincide quindi con la componente corrispondente della grandezza nodale globale (ad esempio, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Poiché un nodo \(i_g\) è in generale condiviso da più elementi, definiamo l'insieme delle coppie \((e, \alpha)\) il cui numero globale di nodo è \(i_g\) come

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Utilizzando questo insieme per riscrivere la somma come \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), si ottengono la forza interna nodale e il vettore globale delle forze interne per tutti gli \(n_g\) nodi:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Qui \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) è la risultante delle forze interne nodali degli elementi agenti sul nodo \(i_g\) ed è \(\boldsymbol{0}\) quando non agisce alcuna forza esterna e l'equilibrio è soddisfatto. La stessa procedura nel metodo UL fornisce \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); poiché i loro valori numerici soddisfano \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), di seguito viene utilizzata la notazione \(\boldsymbol{Q}\) salvo quando è necessario distinguerle. Il vettore globale delle forze esterne \(\boldsymbol{F}\) si ottiene mediante lo stesso accumulo.

Nell'implementazione, l'insieme \(\mathcal{E}(i_g)\) non viene costruito esplicitamente; i contributi vengono invece sommati alle componenti corrispondenti all'interno del ciclo sugli elementi.

Inizializza a 0 il vettore globale delle forze interne Q: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
per e = 1 fino a (numero di elementi)
    per α = 1 fino a n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    fine per
fine per

Il vettore globale delle forze esterne \(\boldsymbol{F}\) viene costruito mediante la stessa procedura. Questa operazione, che somma e memorizza le grandezze nodali degli elementi in vettori e matrici numerati secondo il numero globale di nodo, è detta assemblaggio. Per i tensori del secondo ordine associati a due numeri di nodo (come le matrici di rigidezza), lo stesso tipo di assemblaggio si ottiene usando l'insieme \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (per la costruzione specifica, vedere Matrice di rigidezza tangente).

Equazioni non lineari da risolvere

Sostituendo le forze interne ed esterne assemblate nel Principio dei lavori virtuali e utilizzando il fatto che esso vale per qualsiasi funzione di test \(\delta\boldsymbol{u}^n\) che soddisfi le condizioni al contorno geometriche, si ottiene

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Nel contesto dell'analisi incrementale (Schema dell'analisi incrementale), si ripristina l'indice temporale \(_{n+1}\) e si omette l'apice \(^n\) che indica il vettore nodale globale. L'equazione da risolvere diventa quindi

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Il problema al contorno discretizzato di determinare lo spostamento nodale \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) al tempo \(t_{n+1}\) si riduce quindi alla soluzione di questa equazione non lineare nello spostamento insieme alle condizioni al contorno geometriche. La linearizzazione dell'equazione e la costruzione della matrice di rigidezza tangente sono descritte in Matrice di rigidezza tangente, mentre il metodo di soluzione iterativo è descritto in Metodo di Newton-Raphson.

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