Vai al contenuto

Iperelasticità

Questo capitolo tratta le leggi costitutive iperelastiche supportate da FrontISTR. Per i dettagli sulla scelta del modello e sulle specifiche di input, vedere la sezione funzionale 03_material.

Fenomeno (risposta reversibile a grandi deformazioni)

TBD (da sviluppare in testo completo nella fase successiva).

Quadro costitutivo

Per un materiale iperelastico isotropo, l'energia potenziale elastica deriva dalla risposta isotropa a partire dallo stato iniziale privo di tensioni e può essere espressa come funzione degli invarianti principali \((I_1, I_2, I_3)\) del tensore di deformazione di Cauchy-Green destro \(C\), oppure degli invarianti principali \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) del tensore di deformazione da cui è stata rimossa la variazione volumetrica, ossia come \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) oppure \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

L'equazione costitutiva di un materiale iperelastico è definita dalla relazione tra la seconda tensione di Piola-Kirchhoff e la deformazione di Green-Lagrange; per l'analisi della deformazione viene applicato il metodo Total Lagrange.

Una volta nota l'energia potenziale elastica \(W\), la seconda tensione di Piola-Kirchhoff e la relazione tensione-deformazione possono essere calcolate come segue.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Le energie potenziali elastiche \(W\) dei modelli iperelastici adottati da FrontISTR sono riportate di seguito.

Modello iperelastico Neo-Hookean

Il modello iperelastico Neo-Hookean estende una legge lineare isotropa (legge di Hooke) in modo da renderla applicabile a problemi di grandi deformazioni. Il suo potenziale elastico è il seguente.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Qui \(C_{10}\) e \(D\) sono costanti del materiale.

Modello iperelastico Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Qui \(C_{10}\), \(C_{01}\) e \(D\) sono costanti del materiale.

Modello iperelastico Mooney-Rivlin anisotropo

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Qui \(C_{10}\), \(C_{01}\) e \(D\) sono costanti del materiale comuni al modello isotropo, mentre \(C_{42}\) e \(C_{43}\) sono costanti del materiale specifiche dell'anisotropia.

Modello iperelastico Arruda-Boyce

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Qui \(\mu_0\), \(\lambda_m\) e \(D\) sono costanti del materiale.

Argomenti correlati