Перейти к содержанию

Гиперупругость

В этой главе рассматриваются гиперупругие определяющие соотношения, поддерживаемые FrontISTR. Подробности выбора модели и задания входных данных см. в разделе функций 03_material.

Явление (обратимый отклик при больших деформациях)

TBD (будет развёрнуто в полный текст на следующем этапе).

Схема определяющих соотношений

Для изотропного гиперупругого материала упругая потенциальная энергия получается из изотропного отклика от исходного ненапряжённого состояния и может быть выражена как функция главных инвариантов \((I_1, I_2, I_3)\) правого тензора деформации Коши — Грина \(C\) либо главных инвариантов \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) тензора деформации с исключённым объёмным изменением, то есть как \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) или \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Определяющее уравнение гиперупругого материала задаётся соотношением между вторым напряжением Пиолы — Кирхгофа и деформацией Грина — Лагранжа, а для анализа его деформации применяется метод Total Lagrange.

Если упругая потенциальная энергия \(W\) известна, второе напряжение Пиолы — Кирхгофа и зависимость напряжение-деформация вычисляются следующим образом.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Ниже перечислены упругие потенциальные энергии \(W\) гиперупругих моделей, принятых в FrontISTR.

Гиперупругая модель Нео-Гука

Гиперупругая модель Нео-Гука расширяет изотропный линейный закон (закон Гука), чтобы его можно было применять к задачам больших деформаций. Её упругий потенциал имеет следующий вид.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Здесь \(C_{10}\) и \(D\) — константы материала.

Гиперупругая модель Муни — Ривлина

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Здесь \(C_{10}\), \(C_{01}\) и \(D\) — константы материала.

Анизотропная гиперупругая модель Муни — Ривлина

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Здесь \(C_{10}\), \(C_{01}\) и \(D\) — константы материала, общие с изотропной моделью, а \(C_{42}\) и \(C_{43}\) — константы материала, специфичные для анизотропии.

Гиперупругая модель Арруда — Бойса

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Здесь \(\mu_0\), \(\lambda_m\) и \(D\) — константы материала.

Связанные темы