Перейти к содержанию

Методы динамического анализа

В этом разделе рассматриваются методы анализа динамических задач с применением прямого интегрирования по времени. Ниже приведены формулировки неявного и явного методов.

Дискретизация уравнения движения (общая схема)

TBD (будет оформлено в следующей фазе).

Неявный метод (метод Newmark-β)

Для динамической задачи к решению приведенного ниже уравнения движения применяется метод прямого интегрирования по времени.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Здесь \(M\) — матрица масс, \(C\) — матрица демпфирования, \(Q\) — вектор внутренних сил, а \(F\) — вектор внешних сил. При этом матрица масс считается постоянной и не зависящей от деформации даже при нелинейном анализе.

Изменения перемещения, скорости и ускорения на временном шаге \(\Delta t\) аппроксимируются методом Newmark-\(\beta\), как показано в уравнениях \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Здесь \(\gamma\) и \(\beta\) — параметры метода Newmark-\(\beta\).

Как хорошо известно, при следующих значениях \(\gamma\) и \(\beta\) метод совпадает соответственно с методом линейного ускорения или правилом трапеций.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\)（метод линейного ускорения）

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\)，\(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\)（правило трапеций）

Подстановка уравнений \(\eqref{eq:2.5.2}\) и \(\eqref{eq:2.5.3}\) в уравнение \(\eqref{eq:2.5.1}\) дает следующее выражение.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

В частности, для линейной задачи \(K_L\) является линейной матрицей жесткости, а \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Подстановка этого соотношения в приведенное выше уравнение дает

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

В точках, где в качестве геометрического граничного условия задано ускорение, из уравнения \(\eqref{eq:2.5.2}\) получают следующее перемещение.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Аналогично, в точках, где задана скорость, из уравнения \(\eqref{eq:2.5.6}\) получают следующее перемещение.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Здесь \(u_{is}(t+\Delta{t})\) — узловое перемещение в момент времени \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — узловая скорость в момент времени \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) — узловое ускорение в момент времени \(t+\Delta{t}\), \(i\) — номер степени свободы узла, а \(s\) — номер узла. Массовый член и член демпфирования обрабатываются следующим образом.

Обработка массового члена

Матрица масс, как правило, рассматривается как матрица сосредоточенных масс.

Обработка члена демпфирования

Член демпфирования рассматривается как демпфирование Рэлея, выражаемое уравнением \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Здесь \(R_m\) и \(R_k\) — параметры демпфирования Рэлея.

Значения \(R_m\) и \(R_k\), задаваемые в карте !DYNAMIC, применяются одинаково ко всей модели. Чтобы задать разные значения \(R_m\) и \(R_k\) для отдельных материалов, укажите карту !MATERIAL внутри блока !DAMPING соответствующего материала. Для элементов, принадлежащих материалу, для которого задана !DAMPING, матрица демпфирования элемента вычисляется как \(M_i\) по матрице масс элемента \(K_i\) и касательной матрице жёсткости \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), после чего включается в глобальную матрицу демпфирования. Эта функция действует только для неявного метода.

Явный метод (метод центральных разностей)

Явный метод основывается на уравнении движения в момент времени t, приведенном ниже.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Если выразить перемещения в моменты времени \(t + \Delta t\) и \(t - \Delta t\) разложением Тейлора относительно момента времени \(t\) и оставить члены до второго порядка по \(\Delta t\) включительно, получим

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Из разности и суммы уравнений \(\eqref{eq:2.5.3}\) и \(\eqref{eq:2.5.4}\) получаются следующие выражения.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Подстановка уравнений \(\eqref{eq:2.5.12}\) и \(\eqref{eq:2.5.13}\) в уравнение \(\eqref{eq:2.5.9}\) дает следующее выражение.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

В частности, для линейной задачи \(Q(t) = K_L U(t)\), и приведенное выше уравнение принимает вид

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Если матрицу масс \(M\) принять как матрицу сосредоточенных масс, а матрицу демпфирования — как матрицу пропорционального демпфирования \(C = R_m M\), то уравнение \(\eqref{eq:2.5.15}\) не требует решения системы линейных уравнений.

Следовательно, из уравнения \(\eqref{eq:2.5.15}\) величину \(U(t+\Delta t)\) можно определить следующим выражением.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Связанные разделы