Перейти к содержанию

Тензорные обозначения и математические основы

В этой главе собраны соглашения по тензорным, индексным и Voigt-обозначениям, используемым в последующих главах теоретического руководства FrontISTR. Здесь рассматриваются только чистые правила записи, не зависящие от определения физических величин. Соглашения, зависящие от конфигурации при движении сплошной среды (исходной/текущей), включая различие прописных и строчных букв, а также материальных и пространственных производных, приведены в разделе Движение, деформация и деформации, где вводится понятие конфигурации.

Тензорные обозначения

Обозначение векторов и тензоров полужирным шрифтом

По принятому типографскому соглашению скалярные величины и компоненты векторов и тензоров записываются обычным шрифтом (например, \(\rho\), \(x_i\)), а сами векторные и тензорные величины — полужирным шрифтом (например, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Правило суммирования Эйнштейна

Если не указано иное, применяется правило суммирования Эйнштейна: если один и тот же индекс дважды встречается в одном члене, по этому индексу выполняется суммирование. Например,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

а компонента \(i,j\) произведения тензоров \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\), \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\), имеет вид

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

По соглашению об индексах, если без дополнительных пояснений используются \(i, j, k, l, \ldots\), они обозначают индексы степеней свободы (в трехмерном случае \(1, 2, 3\)), а строчные греческие буквы \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) обозначают индексы узлов, образующих элемент.

Скалярное произведение, транспонирование и тензорное произведение

Транспонированный тензор \(\boldsymbol{A}\) обозначается как \(\boldsymbol{A}^T\). Скалярное произведение (двойное свёртывание) тензоров второго ранга \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\) записывается как

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Скалярное произведение векторов \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\) задаётся как \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), а тензорное произведение — как \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Обозначения Фойгта

Напряжения и деформации являются симметричными тензорами второго ранга по степеням свободы, а коэффициенты линейной связи между ними образуют тензор четвёртого ранга. Непосредственная работа с такими объектами в программе невыгодна с точки зрения вычислительных затрат и реализации (многомерные массивы и глубоко вложенные циклы). Поэтому в типичных конечно-элементных программах с учётом симметрии напряжения и деформации сжимаются в векторы-столбцы, а тензор упругости четвёртого ранга — в двумерную матрицу. Такое представление называется обозначением Фойгта.

Далее матричное или векторное представление тензорной величины \(\boldsymbol{A}\) обозначается как \(\hat{A}\), чтобы отличать его от исходного тензора.

Векторное представление напряжений и деформаций

Для симметричных тензора напряжений \(\boldsymbol{\sigma}\) и тензора деформаций \(\boldsymbol{\varepsilon}\) в двумерном случае

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

в трёхмерном случае

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

они представляются в виде векторов-столбцов, как показано выше. То же правило применяется к производным величинам, таким как вариации и дифференциалы. Следует обратить внимание, что сдвиговые компоненты деформации имеют множитель 2 (для напряжений такого множителя нет). Благодаря этой асимметрии тензорное скалярное произведение можно записать как векторное произведение

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

в компактной форме. При реализации множитель 2 для сдвиговых деформаций легко перепутать, поэтому необходимо всегда помнить правило: «для напряжений — нет / для деформаций — есть». То же соглашение Фойгта применяется к величинам исходной конфигурации: второму напряжению Пиолы—Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) и деформации Грина—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\).

Матричное представление тензора четвёртого ранга

Для линейной связи между напряжениями и деформациями \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (в компонентной форме \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), используя симметрию \(\boldsymbol{\varepsilon}\), получаем

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

В трёхмерном случае, представляя \(\tilde{C}\) в виде материальной матрицы \(\hat{\tilde{C}}\) размера 6×6, исходное тензорное соотношение можно записать как

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Далее в этом руководстве, если не указано иное, материальная матрица обозначается \(D\) (или \(\hat{C}\)). Конкретные компоненты для изотропной линейной упругости см. в разделе Линейная упругость.

Соглашения для дифференциальных операторов

Оператор симметричного градиента

Оператор симметричного градиента \(\nabla_S\) для векторного поля \(\boldsymbol{u}\) определяется как

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

В компонентной форме \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Деформация при малых перемещениях \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) компактно выражается этим оператором. Выбор конфигурации (исходной/текущей), относительно которой берётся градиент при конечных деформациях, рассматривается в разделе Движение, деформация и деформации.

Материальная производная по времени

Материальная производная по времени величины \(A\) (производная по времени при слежении за одной и той же материальной точкой) обозначается верхней точкой \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Скорость и ускорение следуют этому соглашению.

Связанные разделы