Ir para o conteúdo

Notação Tensorial e Fundamentos Matemáticos

Este capítulo reúne as convenções de notação tensorial, notação por índices e notação de Voigt usadas nos capítulos seguintes do Manual Teórico do FrontISTR. Aqui são descritas apenas regras puramente notacionais que não dependem das definições das grandezas físicas. As convenções de notação que dependem da configuração associada ao movimento do contínuo (configuração de referência/atual), como a distinção entre letras maiúsculas e minúsculas e entre derivadas materiais e espaciais, são apresentadas em Movimento, Deformação e Deformação Específica, onde o conceito de configuração é introduzido.

Notação Tensorial

Notação em Negrito para Vetores e Tensores

Como convenção tipográfica, grandezas escalares e componentes de vetores e tensores são escritas em tipo normal (como \(\rho\) e \(x_i\)), enquanto as grandezas vetoriais e tensoriais propriamente ditas são escritas em negrito (como \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) e \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convenção de Soma de Einstein

Salvo indicação em contrário, utiliza-se a convenção de soma de Einstein: quando o mesmo índice aparece duas vezes no mesmo termo, efetua-se a soma em relação a esse índice. Por exemplo,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

e o componente \(i,j\) do produto \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) dos tensores \(\boldsymbol{A}\) e \(\boldsymbol{B}\) é

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Como convenção de índices, quando \(i, j, k, l, \ldots\) são usados como índices sem qualificação adicional, eles denotam índices associados aos graus de liberdade (\(1, 2, 3\) em três dimensões), enquanto letras gregas minúsculas \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) usadas como índices denotam índices associados aos nós que constituem um elemento.

Produto Interno, Transposta e Produto Tensorial

A transposta do tensor \(\boldsymbol{A}\) é denotada por \(\boldsymbol{A}^T\). O produto interno (dupla contração) dos tensores de segunda ordem \(\boldsymbol{A}\) e \(\boldsymbol{B}\) é escrito como

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

O produto interno dos vetores \(\boldsymbol{a}\) e \(\boldsymbol{b}\) é \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), e seu produto tensorial é \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notação de Voigt

A tensão e a deformação específica são tensores simétricos de segunda ordem em relação aos graus de liberdade, e os coeficientes que representam a relação linear entre elas formam um tensor de quarta ordem. Manipulá-los diretamente em um programa é desvantajoso em termos de custo computacional e implementação (arranjos multidimensionais e laços profundamente aninhados). Por isso, programas gerais de elementos finitos exploram a simetria e compactam a tensão e a deformação específica em vetores coluna e o tensor de elasticidade de quarta ordem em uma matriz bidimensional. Essa representação é denominada notação de Voigt.

Daqui em diante, a representação matricial ou vetorial de uma grandeza tensorial \(\boldsymbol{A}\) será denotada por \(\hat{A}\) para distingui-la do tensor original.

Representação Vetorial da Tensão e da Deformação Específica

Para o tensor de tensões simétrico \(\boldsymbol{\sigma}\) e o tensor de deformações específicas \(\boldsymbol{\varepsilon}\), em duas dimensões,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

em três dimensões,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

elas são tratadas como vetores coluna, conforme mostrado acima. A mesma regra se aplica a grandezas derivadas, como variações e diferenciais. Observe que os componentes de cisalhamento do lado da deformação específica têm um fator 2 (o lado da tensão não tem). Devido a essa assimetria, o produto interno tensorial pode ser escrito de forma compacta como o produto interno vetorial

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Na implementação, é fácil tratar incorretamente o fator 2 dos componentes de deformação por cisalhamento; portanto, deve-se sempre ter em mente a convenção "ausente para tensão / presente para deformação específica". Exatamente a mesma convenção de Voigt é aplicada às grandezas na configuração de referência (a segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e a deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Representação Matricial de um Tensor de Quarta Ordem

Para a relação linear entre tensão e deformação específica, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (na forma de componentes, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), o uso da simetria de \(\boldsymbol{\varepsilon}\) fornece

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Em três dimensões, organizando \(\tilde{C}\) como a matriz de material 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), a relação tensorial original pode ser expressa como

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Daqui em diante neste manual, salvo indicação em contrário, a matriz de material é denotada por \(D\) (ou \(\hat{C}\)). Para os componentes específicos da elasticidade linear isotrópica, consulte Elasticidade Linear.

Convenções de Operadores Diferenciais

Operador Gradiente Simétrico

O operador gradiente simétrico \(\nabla_S\) para um campo vetorial \(\boldsymbol{u}\) é definido como

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Na forma de componentes, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). A deformação específica para deformações infinitesimais \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) pode ser expressa de forma compacta com esse operador. A distinção entre as configurações (de referência/atual) em relação às quais os gradientes são calculados em grandes deformações é tratada em Movimento, Deformação e Deformação Específica.

Derivada Temporal Material

A derivada temporal material de uma grandeza \(A\) (a derivada temporal acompanhando o mesmo ponto material) é denotada por um ponto sobrescrito, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

A velocidade e a aceleração seguem essa convenção.

Tópicos Relacionados