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Fluência

Este capítulo aborda a lei constitutiva de fluência adotada pelo FrontISTR. Para detalhes sobre a seleção e a especificação de entrada, consulte a seção de funções 03_material.

Fenômeno de fluência e decomposição aditiva da deformação

Sob tensão constante, o deslocamento dependente do tempo é um fenômeno denominado “fluência”.

O comportamento viscoelástico descrito anteriormente também pode ser considerado um tipo de fenômeno de fluência linear. Aqui são descritos alguns comportamentos de fluência não linear. Uma abordagem comum consiste em formular a relação constitutiva adicionando esse comportamento à deformação que ocorre instantaneamente, e definir como deformação de fluência \(\varepsilon^c\) a deformação acumulada enquanto uma determinada carga constante permanece aplicada. Uma relação constitutiva que considera a fluência é normalmente expressa usando a taxa de deformação de fluência \(\dot{\varepsilon}^c\), definida como função da tensão e da deformação de fluência total.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Se a deformação que ocorre instantaneamente for a deformação elástica \(\varepsilon^e\), a deformação total será expressa pela soma a seguir, incluindo a deformação de fluência.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

onde,

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

sendo \(c\) o tensor de elasticidade.

Lei de Norton

Como forma específica da lei constitutiva de fluência, o FrontISTR adota o seguinte modelo de Norton. Nessa lei constitutiva, a taxa de deformação de fluência equivalente \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) é expressa, como na equação abaixo, em função da tensão de von Mises \(q\) e do tempo \(t\).

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Aqui, \(A\), \(m\) e \(n\) são constantes do material.

Integração no tempo e atualização da tensão

Assim como para materiais plásticos, é necessário especificar um método de integração no tempo para a análise numérica de uma lei constitutiva que apresente fluência. A relação constitutiva quando a fluência é considerada é

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

onde \(\beta_{n+\theta}\) é

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Adota-se essa expressão. Além disso, o incremento da deformação de fluência \(\Delta \varepsilon^c\) é definido pela seguinte equação não linear simplificada:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

adota-se essa expressão.

Na iteração pelo método de Newton-Raphson, tomando \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) como tensão inicial e usando o incremento de deformação obtido pelo método dos elementos finitos, a solução iterativa e a solução incremental são dadas por

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

onde,

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

adota-se essa expressão. Ao realizar as iterações até que o resíduo \(R\) se torne \(\mathbf{0}\), utilizam-se a tensão \(\sigma_{n+1}\) e o módulo tangente

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

são utilizados.

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