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Trabalho virtual das forças externas e montagem das equações globais

Em Discretização do trabalho virtual das forças internas, o lado esquerdo da forma fraca foi reduzido ao vetor de forças internas do elemento \(\boldsymbol{q}^e\) (método UL) ou \(\boldsymbol{Q}^e\) (método TL). Neste capítulo, introduz-se o vetor de forças externas nodais do elemento \(\boldsymbol{F}^e\) a partir do trabalho virtual das forças externas e, por meio da operação de montagem que reordena e acumula as grandezas nodais dos elementos segundo a numeração global dos nós, chega-se ao sistema de equações não lineares em deslocamentos nodais que deve ser resolvido pela análise estrutural não linear do FrontISTR.

Decomposição por elemento do trabalho virtual das forças externas

O lado direito do Princípio do trabalho virtual pode ser decomposto elemento a elemento como o trabalho virtual das forças externas, composto por forças de volume (forças de corpo) e trações de superfície prescritas nas fronteiras mecânicas. Para escrever em forma matricial a interpolação de deslocamentos introduzida em Funções de forma e aproximação por elementos finitos, para o nó \(\alpha\) toma-se a função de forma \(N_\alpha^e\), organiza-se na diagonal o bloco \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\) e, colocando esses blocos lado a lado, usa-se \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), de modo que \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Substituindo isso no trabalho virtual das forças externas escrito na configuração de referência, obtém-se

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

onde o vetor de forças externas nodais do elemento é organizado como \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Assim, o trabalho virtual das forças externas é reduzido à mesma forma de “vetor nodal do elemento × função de teste” do lado das forças internas (quando escrito na configuração atual, obtém-se a mesma forma com as substituições \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) e \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Montagem das grandezas nodais dos elementos

As grandezas nodais \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) obtidas para cada elemento são acumuladas em vetores globais reordenados pela numeração global dos nós. Para o elemento \(\Omega^e\), seja o número global do nó correspondente ao número local de nó \(\alpha\)

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Então, a grandeza nodal do elemento coincide com o componente correspondente da grandeza nodal global (por exemplo, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Como, em geral, um nó \(i_g\) é compartilhado por vários elementos, define-se o conjunto dos pares cujo número global de nó é \(i_g\), isto é, os pares \((e, \alpha)\), como

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Usando esse conjunto para reescrever a soma como \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), obtêm-se a força interna nodal e o vetor global de forças internas sobre todos os \(n_g\) nós:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Aqui, \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) corresponde à resultante das forças internas nodais dos elementos atuando no nó \(i_g\) e é \(\boldsymbol{0}\) quando não há força externa atuando e o equilíbrio é satisfeito. Pelo mesmo procedimento no método UL, obtêm-se \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); como seus valores satisfazem \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), a notação \(\boldsymbol{Q}\) é usada a seguir, exceto onde for necessário distingui-las. O vetor global de forças externas \(\boldsymbol{F}\) também é obtido pela mesma acumulação.

Na implementação, o conjunto \(\mathcal{E}(i_g)\) não é construído explicitamente; em vez disso, as contribuições são adicionadas aos componentes correspondentes dentro do loop de elementos.

Inicializar o vetor global de forças internas Q com 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (número de elementos)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

O vetor global de forças externas \(\boldsymbol{F}\) é construído pelo mesmo procedimento. Essa operação de adicionar e armazenar grandezas nodais dos elementos em vetores e matrizes numerados pela numeração global dos nós é chamada de montagem (assemble). Para tensores de segunda ordem associados a dois números de nós (como matrizes de rigidez), obtém-se o mesmo tipo de montagem usando o conjunto \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (consulte Matriz de rigidez tangente para a construção específica).

Equações não lineares a serem resolvidas

Substituindo as forças internas e externas montadas no Princípio do trabalho virtual e usando o fato de que a expressão vale para qualquer função de teste \(\delta\boldsymbol{u}^n\) que satisfaça as condições de contorno geométricas, obtém-se

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

No contexto da análise incremental (Estrutura da análise incremental), restaura-se o subscrito temporal \(_{n+1}\) e omite-se o sobrescrito \(^n\) que indica o vetor nodal global. A equação a ser resolvida torna-se então

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Assim, o problema de valor de contorno discretizado de determinar, no instante \(t_{n+1}\), o deslocamento nodal \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) reduz-se à solução dessa equação não linear em deslocamentos juntamente com as condições de contorno geométricas. A linearização da equação e a construção da matriz de rigidez tangente são descritas em Matriz de rigidez tangente, e o método iterativo de solução em Método de Newton-Raphson.

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