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Elasticidade linear

Este capítulo trata da lei constitutiva (lei de Hooke) para materiais elásticos lineares. Para detalhes sobre a seleção do modelo e as especificações de entrada, consulte a seção de funções 03_material.

Fenômeno (resposta elástica linear)

Um corpo elástico linear é um material que, em uma faixa na qual a deformação sob carga é suficientemente pequena, apresenta relação linear entre tensão e deformação e resposta reversível e independente do histórico, na qual toda a deformação retorna ao estado original após o descarregamento. Diferentemente da plasticidade ou da fluência, não possui variáveis internas que representem o estado (como deformação plástica ou deformação viscosa), e a tensão é determinada unicamente pela deformação atual.

Na faixa de pequenas deformações, usam-se a tensão de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e a deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\); na faixa de deformações finitas (problemas que incluem grandes rotações, mas nos quais a deformação em si é pequena), usam-se a segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e a deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (material de St.Venant-Kirchhoff).

Lei constitutiva

Material elástico linear isotrópico

Na faixa de pequenas deformações, a lei de Hooke isotrópica é expressa usando as constantes de Lamé \(\lambda, \mu\) como

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Em forma de componentes,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

e a dupla contração com a deformação fornece \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). As constantes de Lamé relacionam-se com o módulo de Young \(E\) e o coeficiente de Poisson \(\nu\) da seguinte forma:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Na notação de Voigt, a relação entre o vetor de deformações \(\hat{\varepsilon}\) e o vetor de tensões \(\hat{\sigma}\) é escrita como \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), e a matriz de material tridimensional \(D\) é

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Essa representação matricial é usada na implementação.

Material elástico linear ortotrópico

Para materiais cujas constantes elásticas diferem conforme a direção dos eixos principais, usa-se um modelo ortotrópico com nove constantes independentes: módulos de Young nas direções dos eixos principais \(E_1, E_2, E_3\), coeficientes de Poisson entre os eixos principais \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) e módulos de cisalhamento \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Para a forma explícita da matriz \(D\), consulte referências padrão.

Faixa de deformações finitas: material de St.Venant-Kirchhoff

Para problemas que incluem grandes rotações, mas nos quais a deformação em si é pequena, usa-se o material de St.Venant-Kirchhoff como uma lei elástica linear que relaciona a segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e a deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

As definições das constantes de Lamé \(\lambda, \mu\) são as mesmas do caso de pequenas deformações. Observe, porém, que, como as definições do par tensão-deformação são diferentes, esta é uma lei constitutiva diferente da lei de Hooke para pequenas deformações.

Material hipoelástico

No método Updated Lagrange, usa-se um material hipoelástico que adota a lei elástica linear entre a taxa de Jaumann do tensor de tensão de Kirchhoff relativa \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) e o tensor taxa de deformação \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Aqui também, a definição de \(\boldsymbol{C}\) em termos das constantes de Lamé é a mesma acima, mas, como o par tensão-deformação é diferente, trata-se de uma lei constitutiva diferente. Para detalhes de como \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) é atualizado pelo procedimento de integração no tempo (integração de Euler explícita e aproximação por diferenças centrais), consulte tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redução para análise bidimensional e elementos de casca

Tensão plana (\(\sigma_{33} = 0\))

Para tensão plana, que representa o carregamento de placas finas e cascas, assume-se \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), e usa-se \(D\) com o componente de deformação fora do plano \(\varepsilon_{33}\) eliminado algebricamente:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformação plana (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Para deformação plana, que representa a seção transversal de uma estrutura longa restringida na direção da espessura, assume-se \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axissimétrico

Na análise axissimétrica, que trata problemas uniformes na direção \(\theta\) em coordenadas cilíndricas \((r, \theta, z)\), são mantidos os quatro componentes \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) e \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), e obtém-se

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

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Elementos de casca (tensão plana + cisalhamento transversal)

Para elementos de casca, a tensão no plano é tratada como tensão plana e, para os componentes de deformação por cisalhamento transversal \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), usa-se \(\kappa\, G\) com o fator de correção de cisalhamento \(\kappa\) (em geral \(\kappa = 5/6\)). Para a formulação detalhada de cada elemento, consulte Formulações avançadas de elementos. A especificação da seção de funções 03_material de que "elementos de casca suportam apenas elasticidade linear" baseia-se nessa simplificação de tratar o estado no plano como tensão plana.

Dependência da temperatura

O módulo de Young \(E\), o coeficiente de Poisson \(\nu\) e o coeficiente de expansão linear \(\alpha\) são, em geral, especificados como funções da temperatura \(T\). No FrontISTR, os valores são inseridos para uma sequência finita de pontos de temperatura \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), e o valor na temperatura \(T\) durante o cálculo é avaliado por interpolação linear entre pontos adjacentes. Para temperaturas fora da faixa (\(T < T_1\) ou \(T > T_n\)), usa-se para extrapolação o valor no ponto extremo mais próximo, \(T_1\) ou \(T_n\) (extrapolação constante).

Para a dependência da temperatura das propriedades térmicas e de condução de calor (densidade, calor específico e condutividade térmica), consulte Propriedades térmicas. As regras de interpolação são comuns a essas propriedades.

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