Lineare Elastizität¶

Dieses Kapitel behandelt das Stoffgesetz (Hookesches Gesetz) für linear-elastische Materialien. Einzelheiten zur Modellauswahl und zu den Eingabespezifikationen finden Sie im Funktionsabschnitt 03_material.

Phänomen (linear-elastische Antwort)¶

Ein linear-elastischer Körper ist ein Material, das in einem Bereich, in dem die Dehnung unter Belastung hinreichend klein ist, einen linearen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung sowie eine reversible, verlaufsunabhängige Antwort zeigt, bei der nach der Entlastung sämtliche Dehnungen in den Ausgangszustand zurückkehren. Anders als Plastizität oder Kriechen besitzt er keine inneren Variablen zur Beschreibung des Zustands (z. B. plastische oder viskose Dehnung); die Spannung wird allein durch die aktuelle Dehnung eindeutig bestimmt.

Im Bereich kleiner Verformungen werden die Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\) und die infinitesimale Dehnung \(\boldsymbol{\varepsilon}\) verwendet; im Bereich endlicher Verformungen (Probleme mit großen Rotationen, bei denen die Dehnung selbst jedoch klein ist) werden die zweite Piola-Kirchhoff-Spannung \(\boldsymbol{S}\) und die Green-Lagrange-Dehnung \(\boldsymbol{E}\) verwendet (St.-Venant-Kirchhoff-Material).

Stoffgesetz¶

Isotropes linear-elastisches Material¶

Im Bereich kleiner Verformungen wird das isotrope Hookesche Gesetz mit den Lamé-Konstanten \(\lambda, \mu\) ausgedrückt als

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

In Komponentenschreibweise gilt

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

und die doppelte Kontraktion mit der Dehnung ergibt \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Die Lamé-Konstanten stehen mit dem Elastizitätsmodul \(E\) und der Querkontraktionszahl \(\nu\) in folgendem Zusammenhang:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

In Voigt-Notation wird der Zusammenhang zwischen dem Dehnungsvektor \(\hat{\varepsilon}\) und dem Spannungsvektor \(\hat{\sigma}\) als \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) geschrieben; die dreidimensionale Materialmatrix \(D\) lautet

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Diese Matrixdarstellung wird in der Implementierung verwendet.

Orthotropes linear-elastisches Material¶

Für Materialien, deren elastische Konstanten je nach Hauptachsenrichtung unterschiedlich sind, wird ein orthotropes Modell mit neun unabhängigen Konstanten verwendet: Elastizitätsmoduln in den Hauptachsenrichtungen \(E_1, E_2, E_3\), Querkontraktionszahlen zwischen den Hauptachsen \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) sowie Schubmoduln \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Die explizite Form der \(D\)-Matrix ist der Standardliteratur zu entnehmen.

Bereich endlicher Verformungen: St.-Venant-Kirchhoff-Material¶

Für Probleme mit großen Rotationen, bei denen die Dehnung selbst jedoch klein ist, wird das St.-Venant-Kirchhoff-Material als linear-elastisches Gesetz verwendet, das die zweite Piola-Kirchhoff-Spannung \(\boldsymbol{S}\) und die Green-Lagrange-Dehnung \(\boldsymbol{E}\) verknüpft:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Die Definitionen der Lamé-Konstanten \(\lambda, \mu\) sind dieselben wie im Fall kleiner Verformungen. Zu beachten ist jedoch, dass es sich aufgrund der unterschiedlichen Definitionen des Spannungs-Dehnungs-Paars um ein anderes Stoffgesetz als das Hookesche Gesetz für kleine Verformungen handelt.

Hypoelastisches Material¶

Bei der Updated-Lagrange-Methode wird ein hypoelastisches Material verwendet, das das linear-elastische Gesetz zwischen der Jaumann-Rate des relativen Kirchhoff-Spannungstensors \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) und dem Deformationsgeschwindigkeitstensor \(\boldsymbol{D}\) zugrunde legt:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Auch hier ist die Definition von \(\boldsymbol{C}\) anhand der Lamé-Konstanten dieselbe wie oben; da sich jedoch das Spannungs-Dehnungs-Paar unterscheidet, handelt es sich um ein anderes Stoffgesetz. Einzelheiten dazu, wie \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) im Zeitintegrationsverfahren (Vorwärts-Euler-Integration und Zentraldifferenzenapproximation) aktualisiert wird, finden Sie in tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reduktion für zweidimensionale Analysen und Schalenelemente¶

Ebener Spannungszustand (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Für den ebenen Spannungszustand, der die Belastung dünner Platten und Schalen beschreibt, wird \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) angenommen und \(D\) verwendet, wobei die Dehnungskomponente außerhalb der Ebene \(\varepsilon_{33}\) algebraisch eliminiert wurde:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ebener Dehnungszustand (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Für den ebenen Dehnungszustand, der den Querschnitt einer langen, in Dickenrichtung behinderten Struktur beschreibt, wird \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) angenommen:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axialsymmetrisch¶

Bei der axialsymmetrischen Analyse, in der Probleme behandelt werden, die in Zylinderkoordinaten \((r, \theta, z)\) in \(\theta\)-Richtung gleichförmig sind, werden die vier Komponenten \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) und \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) beibehalten, und es ergibt sich

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

Schalenelemente (ebener Spannungszustand + Querschub)¶

Bei Schalenelementen wird die Spannung in der Ebene als ebener Spannungszustand behandelt; für die Querschubdehnungskomponenten \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) wird \(\kappa\, G\) mit dem Schubkorrekturfaktor \(\kappa\) (im Allgemeinen \(\kappa = 5/6\)) verwendet. Zur detaillierten Formulierung der einzelnen Elemente siehe Erweiterte Elementformulierungen. Die Angabe im Funktionsabschnitt 03_material, dass „Schalenelemente nur lineare Elastizität unterstützen“, beruht auf dieser Vereinfachung, den Zustand in der Ebene als ebenen Spannungszustand zu behandeln.

Temperaturabhängigkeit¶

Der Elastizitätsmodul \(E\), die Querkontraktionszahl \(\nu\) und der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient \(\alpha\) werden im Allgemeinen als Funktionen der Temperatur \(T\) angegeben. In FrontISTR werden Werte für eine endliche Folge von Temperaturpunkten \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) eingegeben; die Temperatur \(T\) während der Berechnung wird durch lineare Interpolation zwischen benachbarten Punkten ausgewertet. Für Temperaturen außerhalb des Bereichs (\(T < T_1\) oder \(T > T_n\)) wird der Wert am nächstgelegenen Endpunkt \(T_1\) bzw. \(T_n\) zur Extrapolation verwendet (konstante Extrapolation).

Zur Temperaturabhängigkeit thermischer und wärmeleitungsspezifischer Eigenschaften (Dichte, spezifische Wärmekapazität und Wärmeleitfähigkeit) siehe Thermische Eigenschaften. Für diese Eigenschaften gelten dieselben Interpolationsregeln.