Modalanalyse¶

Verallgemeinertes Eigenwertproblem¶

Bei der Analyse freier Schwingungen eines Kontinuums wird der Raum diskretisiert und, wie in Abbildung 2.3.1 dargestellt, als Mehrfreiheitsgradsystem mit konzentrierten Massen modelliert. Für ein ungedämpftes freies Schwingungsproblem lautet die maßgebende Gleichung (Bewegungsgleichung) wie folgt.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Dabei ist $u$ der verallgemeinerte Verschiebungsvektor, $M$ die Massenmatrix und $K$ die Steifigkeitsmatrix. Sei nun die Eigenkreisfrequenz $\omega$, seien $a$, $b$ und $c$ beliebige Konstanten und $x$ ein Vektor. Definiert sei die Funktion

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Die zweite Ableitung dieses Ausdrucks lautet

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in Gleichung$\eqref{eq:2.3.1}$ erhält man

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

also

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Damit erhält man diese Gleichung.

Wenn also der Koeffizient $\lambda = \omega^2$, der Gleichung$\eqref{eq:2.3.5}$ genügt, und der Vektor $x$ bestimmt werden können, ist die Funktion $u(t)$ eine Lösung der Gleichung$\eqref{eq:2.3.1}$.

Der Koeffizient $\lambda$ wird Eigenwert und der Vektor $x$ Eigenvektor genannt. Das Problem, diese Größen aus Gleichung$\eqref{eq:2.3.1}$ zu bestimmen, wird als verallgemeinertes Eigenwertproblem bezeichnet.

Beispiel eines Mehrfreiheitsgradsystems bei ungedämpfter freier Schwingung

Abbildung 2.3.1　Beispiel eines Mehrfreiheitsgradsystems bei ungedämpfter freier Schwingung

Matrixeigenschaften und Annahmen¶

Für das im vorangegangenen Abschnitt erhaltene verallgemeinerte Eigenwertproblem $K x = \lambda M x$ werden in diesem Handbuch die folgenden Matrixeigenschaften angenommen. Diese Annahmen bilden die Grundlage für die Konvergenz und den Anwendungsbereich der nachfolgend beschriebenen verschobenen inversen Iteration und des Lanczos-Verfahrens. Bei einer komplexen Matrix ist die transponierte Matrix die komplex konjugierte Matrix; bei einer reellen Matrix ist sie symmetrisch. Ist insbesondere die $ij$-Komponente der Matrix $K$ mit $k_{ij}$ bezeichnet und das komplex Konjugierte von $k$ mit $\bar{k}$, dann gilt

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

die folgende Beziehung.

In diesem Handbuch werden die Matrizen als symmetrisch und positiv definit angenommen. Positiv definit bedeutet, dass alle Eigenwerte positiv sind; äquivalent dazu erfüllt die Matrix stets die nachstehende Gleichung$\eqref{eq:2.3.7}$.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Verschobene inverse Iteration¶

Bei der Strukturanalyse mit der Finite-Elemente-Methode werden in der Praxis im Allgemeinen nicht alle Eigenwerte benötigt; häufig genügen wenige Eigenwerte niedriger Ordnung. HEC-MW ist für großskalige Probleme vorgesehen, bei denen die Matrizen groß und sehr dünn besetzt sind (viele Nulleinträge enthalten). Daher ist es wichtig, unter Berücksichtigung dieser Eigenschaft die Eigenwerte der Moden niedriger Ordnung effizient zu berechnen.

Sei $\sigma$ die Untergrenze der Eigenwerte. Gleichung$\eqref{eq:2.3.5}$ lässt sich dann in die folgende mathematisch äquivalente Form umformen.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Diese Umformung besitzt für die Berechnung die folgenden vorteilhaften Eigenschaften.

Die Reihenfolge der Moden wird umgekehrt.
Die Eigenwerte in der Umgebung von $\rho$ werden auf die größten Werte abgebildet.

Bei der tatsächlichen Berechnung werden die größten Eigenwerte häufig zuerst ermittelt. Daher wird die wesentliche Konvergenzberechnung nicht auf Gleichung$\eqref{eq:2.3.5}$, sondern auf Gleichung$\eqref{eq:2.3.8}$ angewandt, um zunächst die Eigenwerte in der Umgebung von $\rho$ zu bestimmen. Dieses Verfahren wird als verschobene inverse Iteration bezeichnet.

Lanczos-Verfahren¶

Begründung der Wahl (Vergleich mit dem Jacobi-Verfahren)¶

Unter den klassischen Verfahren ist das Jacobi-Verfahren weithin bekannt.

Dieses Verfahren ist bei kleinen, dichten Matrizen wirksam. Da die von HEC-MW behandelten Matrizen jedoch groß und dünn besetzt sind, wird dieses Verfahren nicht verwendet; stattdessen kommt das iterative Lanczos-Verfahren zum Einsatz.

Algorithmus und Eigenschaften¶

Dieses von C. Lanczos in den 1950er-Jahren vorgeschlagene Verfahren ist ein Algorithmus zur Reduktion einer Matrix auf Tridiagonalform und besitzt die folgenden Eigenschaften.

Es ist ein iteratives Konvergenzverfahren, bei dem die Matrix während der Berechnung dünn besetzt bleiben kann.
Der Algorithmus besteht hauptsächlich aus Matrix-Vektor-Produkten und eignet sich gut für die Parallelisierung.
Er eignet sich gut für die geometrische Gebietszerlegung in Verbindung mit Finite-Elemente-Netzen.
Eine effiziente Berechnung ist möglich, indem die Anzahl der zu bestimmenden Eigenwerte und der Modenbereich begrenzt werden.

Das Lanczos-Verfahren startet mit einem Anfangsvektor, erzeugt sukzessive orthogonale Vektoren und bestimmt daraus eine Basis für einen Unterraum. Es gilt als schneller als das Unterraumverfahren, ein anderes iteratives Verfahren, und wird in Finite-Elemente-Programmen häufig eingesetzt. Das Verfahren ist jedoch empfindlich gegenüber numerischen Fehlern; dadurch kann die Orthogonalität der Vektoren verloren gehen und die Berechnung während des Ablaufs zusammenbrechen. Maßnahmen gegen solche numerischen Fehler sind daher unerlässlich.

Geometrische Bedeutung (Krylov-Unterraum)¶

Durch die folgende Variablentransformation in Gleichung$\eqref{eq:2.3.8}$

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

lässt sich das Problem umschreiben als

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

und man erhält

Für einen geeigneten Vektor $q_0$ wird die durch die Matrix $A$ dargestellte lineare Transformation angewandt (siehe Abbildung 2.3.2).

$Lineare Transformation von $q_0$ durch die Matrix $A$$

Abbildung 2.3.2　Lineare Transformation von $q_0$ durch die Matrix $A$

Der transformierte Vektor wird innerhalb des gemeinsam mit dem ursprünglichen Vektor aufgespannten Raums orthogonalisiert. Das heißt, es wird eine Gram-Schmidt-Orthogonalisierung wie in Abbildung 2.3.2 durchgeführt. Der so erhaltene Vektor sei $r_1$. Durch Normierung auf die Länge 1 erhält man $q_1$ (Abbildung 2.3.3). Mit demselben Verfahren wird aus $q_1$ der Vektor $q_2$ bestimmt. Dabei ist $q_2$ sowohl zu $q_1$ als auch zu $q_0$ orthogonal (Abbildung 2.3.4). Durch Fortsetzen derselben Berechnung erhält man gegenseitig orthogonale Vektoren bis zur Ordnung der Matrix.

$Zu $q_0$ orthogonaler Vektor $q_1$$

Abbildung 2.3.3　 Zu $q_0$ orthogonaler Vektor $q_1$

$Zu $q_1$ und $q_0$ orthogonaler Vektor $q_2$$

Abbildung 2.3.4　 Zu $q_1$ und $q_0$ orthogonaler Vektor $q_2$

Insbesondere entspricht der Lanczos-Algorithmus für die Vektorfolge $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

beziehungsweise $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

einer Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Diese Vektorfolge wird Krylov-Folge genannt; der von ihr aufgespannte Raum heißt Krylov-Unterraum. Wird in diesem Raum eine Gram-Schmidt-Orthogonalisierung durchgeführt, kann jeder neue Vektor aus den beiden unmittelbar vorausgehenden Vektoren bestimmt werden. Dies wird als Lanczos-Prinzip bezeichnet.

Tridiagonalisierung¶

In der obigen Iteration lässt sich die Berechnung des (i+1)-ten Vektors schreiben als

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

wobei

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

In Matrixschreibweise ergibt sich

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]