Elastoplastizität¶

Dieses Kapitel beschreibt den von FrontISTR verwendeten Rahmen für elastoplastische Stoffgesetze. Einzelheiten zur Auswahl und zu den Eingabespezifikationen finden Sie unter 03_material im Funktionsteil.

Phänomen (plastische Verformung)¶

TBD (wird in der nächsten Phase verfasst).

Rahmen des Stoffgesetzes¶

FrontISTR verwendet ein elastoplastisches Stoffgesetz auf Grundlage einer assoziierten Fließregel. Das Stoffgesetz beschreibt die Beziehung zwischen der Jaumann-Rate der Kirchhoff-Spannung und dem Deformationsgeschwindigkeitstensor; für die Verformungsanalyse wird die aktualisierte Lagrange-Formulierung verwendet.

Es sei angenommen, dass die Fließbedingung eines elastoplastischen Materials wie folgt gegeben ist.

Anfängliche Fließbedingung:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Nachfolgende Fließbedingung:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

wobei

\(F\): Fließfunktion
\(\sigma_{y_0}\): anfängliche Fließspannung
\(\sigma_y\): nachfolgende Fließspannung
\(\sigma\): Spannungstensor
\(e\): infinitesimaler Verzerrungstensor
\(e^p\): plastischer Verzerrungstensor
\(\overline{e}^p\): äquivalente plastische Verzerrung

Es wird angenommen, dass die Beziehung zwischen Fließspannung und äquivalenter plastischer Verzerrung mit der Spannungs-Plastische-Verzerrungs-Beziehung im einachsigen Zustand übereinstimmt.

Spannungs-Plastische-Verzerrungs-Beziehung im einachsigen Zustand

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

wobei \(H'\) der Verfestigungsmodul ist.

Beziehung zwischen äquivalenter Spannung und äquivalenter plastischer Verzerrung

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Im Allgemeinen ist die nachfolgende Fließfunktion eine Funktion der Temperatur und der plastischen Verformungsarbeit; der Einfachheit halber wird hier angenommen, dass sie nur von der äquivalenten plastischen Verzerrung \(\overline{e}^p\) abhängt. Während des Fortschreitens der plastischen Verformung muss \(F = 0\) weiterhin gelten; daher muss die folgende Gleichung erfüllt sein.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Hier bezeichnet \(\dot{F}\) die Zeitableitung von \(F\). Im Folgenden wird die Zeitableitung einer Größe \(A\) mit \(\dot{A}\) bezeichnet.

Es wird die Existenz eines plastischen Potentials \(\Theta\) angenommen und die plastische Verzerrungsrate durch die folgende Gleichung ausgedrückt.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Hier ist \(\dot{\lambda}\) ein Koeffizient.

Unter der weiteren Annahme, dass das plastische Potential \(\Theta\) gleich der Fließfunktion \(F\) ist, wird die folgende assoziierte Fließregel verwendet.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Durch Einsetzen dieser Gleichung in die Konsistenzbedingung erhält man die folgende Gleichung.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Hier ist \(D\) die Elastizitätsmatrix, und

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Die elastoplastische Spannungs-Verzerrungs-Beziehung kann wie folgt geschrieben werden.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Sobald die Fließfunktion \(F\) des elastoplastischen Materials bekannt ist, ergibt sich daraus dessen Stoffgesetz.

Fließfunktionen¶

Die von FrontISTR verwendeten elastoplastischen Fließfunktionen sind nachfolgend aufgeführt.

Von-Mises-Fließfunktion¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Hier ist \(J_2\) die zweite Invariante des Spannungsdeviators.

Mohr-Coulomb-Fließfunktion¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Hier sind \(\sigma_1, \sigma_3\) die größte bzw. kleinste Hauptspannung, \(c\) ist die Kohäsion und \(\phi\) der innere Reibungswinkel.

Drucker-Prager-Fließfunktion¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Hier werden die Materialkonstanten \(\alpha\) und \(\sigma_y\) aus der Kohäsion und dem Reibungswinkel des Materials wie folgt berechnet.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]