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Elastoplasticity

यह अध्याय FrontISTR द्वारा अपनाए गए elastoplastic constitutive law की रूपरेखा का वर्णन करता है। चयन और input specifications के विवरण के लिए Functions अनुभाग में 03_material देखें।

परिघटना (Plastic Deformation)

TBD (अगले चरण में लिखा जाएगा)।

Constitutive-Law की रूपरेखा

FrontISTR एक associated flow rule पर आधारित elastoplastic constitutive equation अपनाता है। Constitutive equation, Kirchhoff stress की Jaumann rate और rate-of-deformation tensor के बीच संबंध व्यक्त करता है, और deformation analysis में updated Lagrange formulation का उपयोग किया जाता है।

मान लें कि elastoplastic material की yield condition निम्न प्रकार दी गई है।

प्रारंभिक yield condition:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

परवर्ती yield condition:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

जहाँ

  • \(F\): yield function
  • \(\sigma_{y_0}\): प्रारंभिक yield stress
  • \(\sigma_y\): परवर्ती yield stress
  • \(\sigma\): stress tensor
  • \(e\): infinitesimal strain tensor
  • \(e^p\): plastic strain tensor
  • \(\overline{e}^p\): equivalent plastic strain

Yield-stress–equivalent-plastic-strain संबंध को uniaxial state में stress–plastic-strain संबंध के समान माना जाता है।

Uniaxial state में stress–plastic-strain संबंध

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

जहाँ \(H'\) strain-hardening modulus है।

Equivalent-stress–equivalent-plastic-strain संबंध

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

सामान्यतः परवर्ती yield function तापमान और plastic-strain work का function होता है, लेकिन सरलता के लिए यहाँ इसे केवल equivalent plastic strain \(\overline{e}^p\) का function माना गया है। Plastic deformation की प्रगति के दौरान \(F = 0\) लगातार संतुष्ट रहना चाहिए, अतः निम्न समीकरण संतुष्ट होना आवश्यक है।

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

यहाँ \(\dot{F}\), \(F\) का समय अवकलज है। आगे किसी राशि \(A\) के समय अवकलज को \(\dot{A}\) द्वारा दर्शाया जाएगा।

Plastic potential \(\Theta\) के अस्तित्व को मानते हुए plastic strain rate को निम्न समीकरण से व्यक्त करें।

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

यहाँ \(\dot{\lambda}\) एक गुणांक है।

इसके अतिरिक्त, plastic potential \(\Theta\) को yield function \(F\) के बराबर मानकर निम्न associated flow rule का उपयोग किया जाता है।

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

इस समीकरण को consistency condition में प्रतिस्थापित करने पर निम्न समीकरण मिलता है।

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

यहाँ \(D\) elasticity matrix है, और

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Elastoplastic stress–strain संबंध को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है।

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

जब elastoplastic material का yield function \(F\) ज्ञात हो जाता है, तब इस अभिव्यक्ति से उसका constitutive equation प्राप्त होता है।

Yield Functions

FrontISTR द्वारा अपनाए गए elastoplastic yield functions नीचे दिए गए हैं।

Von Mises Yield Function

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

यहाँ \(J_2\), deviatoric stress tensor का द्वितीय invariant है।

Mohr-Coulomb Yield Function

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

यहाँ \(\sigma_1, \sigma_3\) क्रमशः maximum और minimum principal stresses हैं, \(c\) cohesion है, और \(\phi\) internal friction angle है।

Drucker-Prager Yield Function

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

यहाँ material constants \(\alpha\) और \(\sigma_y\) को material cohesion तथा friction angle से निम्न प्रकार गणना किया जाता है।

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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