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Elastoplasticidade

Este capítulo trata o quadro da lei constitutiva elastoplástica adotada pelo FrontISTR. Para detalhes sobre a seleção e a especificação de entrada, consulte 03_material na secção de funcionalidades.

Fenómeno (deformação plástica)

TBD (a desenvolver na próxima fase).

Enquadramento da lei constitutiva

O FrontISTR adota uma equação constitutiva elastoplástica baseada numa regra de escoamento associada. A equação constitutiva expressa ainda a relação entre a taxa de Jaumann da tensão de Kirchhoff e o tensor da taxa de deformação, e a análise de deformação utiliza a formulação Updated Lagrange.

Admite-se que a condição de cedência de um material elastoplástico é dada da forma seguinte.

Condição de cedência inicial:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condição de cedência subsequente:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

onde

  • \(F\): função de cedência
  • \(\sigma_{y_0}\): tensão de cedência inicial
  • \(\sigma_y\): tensão de cedência subsequente
  • \(\sigma\): tensor de tensões
  • \(e\): tensor de deformações infinitesimais
  • \(e^p\): tensor de deformações plásticas
  • \(\overline{e}^p\): deformação plástica equivalente

Admite-se que a relação tensão de cedência–deformação plástica equivalente coincide com a relação tensão–deformação plástica no estado uniaxial.

Relação tensão–deformação plástica no estado uniaxial

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

onde \(H'\) é o módulo de encruamento.

Relação tensão equivalente–deformação plástica equivalente

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Em geral, a função de cedência subsequente é função da temperatura e do trabalho de deformação plástica; por simplicidade, admite-se aqui que depende apenas da deformação plástica equivalente \(\overline{e}^p\). Durante a evolução da deformação plástica, \(F = 0\) deve continuar a verificar-se; por conseguinte, deve ser satisfeita a equação seguinte.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Aqui, \(\dot{F}\) representa a derivada temporal de \(F\). Daqui em diante, a derivada temporal de uma grandeza \(A\) é representada por \(\dot{A}\).

Admite-se agora a existência de um potencial plástico \(\Theta\) e exprime-se a taxa de deformação plástica pela equação seguinte.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Aqui, \(\dot{\lambda}\) é um coeficiente.

Além disso, admitindo que o potencial plástico \(\Theta\) é igual à função de cedência \(F\), adota-se a seguinte regra de escoamento associada.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Substituindo esta equação na condição de consistência, obtém-se a equação seguinte.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Aqui, \(D\) é a matriz elástica, e

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

A relação tensão–deformação elastoplástica pode ser escrita da forma seguinte.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Conhecida a função de cedência \(F\) do material elastoplástico, a respetiva equação constitutiva é obtida a partir desta expressão.

Funções de cedência

Apresentam-se abaixo as funções de cedência elastoplásticas adotadas pelo FrontISTR.

Função de cedência de Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Aqui, \(J_2\) é o segundo invariante do tensor de tensões desviadoras.

Função de cedência de Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Aqui, \(\sigma_1, \sigma_3\) são as tensões principais máxima e mínima, \(c\) é a coesão e \(\phi\) é o ângulo de atrito interno.

Função de cedência de Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Aqui, as constantes de material \(\alpha\) e \(\sigma_y\) são calculadas a partir da coesão e do ângulo de atrito do material da forma seguinte.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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