Ir para o conteúdo

Funções de Forma e Aproximação por Elementos Finitos

Para tratar computacionalmente a forma fraca do princípio dos trabalhos virtuais, o domínio do corpo é dividido num número finito de elementos, e as coordenadas dos pontos materiais, o deslocamento e a função de teste no interior de cada elemento são interpolados a partir dos valores nodais e das funções de forma. As derivadas espaciais das funções de forma são tratadas em Derivadas Espaciais das Funções de Forma, a discretização da forma fraca em Discretização do Trabalho Virtual Interno, e as formas específicas das funções de forma para cada tipo de elemento em Sistema de Numeração dos Elementos e Biblioteca de Funções de Forma e nas secções seguintes.

Partição do Domínio e Somas de Integrais por Elemento

O domínio \(\Omega_0\) na configuração de referência e o domínio \(\Omega\) na configuração atual são aproximados pelas uniões dos elementos \(\Omega^e_0\) e \(\Omega^e\), respetivamente:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) é o número do elemento, e as fronteiras dos elementos são partilhadas entre elementos adjacentes.) Deste modo, as integrais de volume e de superfície no princípio dos trabalhos virtuais são decompostas em somas de integrais sobre elementos individuais:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(O mesmo se aplica à configuração atual substituindo \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) e \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Daqui em diante, a avaliação da forma fraca reduz-se à construção de integrais elemento a elemento.

Interpolação com Valores Nodais e Funções de Forma (Elementos Isoparamétricos)

A cada elemento \(\Omega^e_0\) são atribuídos \(n_e\) nós. Sejam \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) as coordenadas na configuração de referência e os deslocamentos nodais do nó de elemento \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). Os vetores nodais do elemento \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) e \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) são formados dispondo estes valores; para o elemento \(e\), contêm apenas as componentes dos nós que constituem o elemento, extraídas dos vetores nodais globais \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) é o número total de nós).

Utilizando como parâmetros as coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\), que são coordenadas locais no interior do elemento, as funções de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolam as coordenadas materiais, o deslocamento e a função de teste no interior do elemento utilizando as mesmas funções de forma (elemento isoparamétrico e método de Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

As funções de forma são construídas de modo a satisfazer as duas propriedades seguintes, e a geometria do elemento é escolhida de forma que o mapeamento \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) das coordenadas naturais para as coordenadas materiais seja unívoco no interior do elemento:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) é o ponto, em coordenadas naturais, correspondente ao nó \(\alpha\), e \(\delta_{\alpha\beta}\) é o delta de Kronecker.) A primeira equação garante a reprodução da translação de corpo rígido, e a segunda garante que o valor interpolado coincide com o valor nodal em cada nó. As formas específicas de \(n_e\) e \(N_\alpha^e\) para cada tipo de elemento são apresentadas em Sistema de Numeração dos Elementos e Biblioteca de Funções de Forma e nas secções seguintes. Para evitar notação excessivamente complexa, a dependência em relação ao tipo de elemento é representada pelo índice superior \(e\), definido por elemento.

Com as regras de interpolação acima, o integrando da forma fraca pode ser expresso exclusivamente em termos dos valores nodais do elemento \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) e de \(N_\alpha^e\). A deformação, por outro lado, é obtida a partir do deslocamento interpolado e da relação deformação-deslocamento, enquanto a tensão é obtida a partir dessa deformação e da lei constitutiva do material; estas grandezas não são diretamente interpoladas a partir de valores nodais. São avaliadas nos pontos de integração no interior do elemento (Integração Numérica).

Regra de Ordenação dos Vetores Nodais Globais

As grandezas físicas atribuídas aos nós são dispostas no vetor nodal global por ordem crescente de número do nó → grau de liberdade. Se, no nó \(\alpha\), a componente \(i\) do grau de liberdade for indicada por \(u_{i\alpha}\), então, em três dimensões (\(i=1,2,3\)) e em duas dimensões (\(i=1,2\)), respetivamente,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

As coordenadas \(\boldsymbol{X}^n\) e a função de teste \(\delta\boldsymbol{u}^n\) seguem a mesma ordenação. Daqui em diante, as deduções em forma matricial e vetorial são apresentadas tomando como representativo o caso tridimensional.

Tópicos Relacionados